Differentialligning og graf, Vejen til Matematik A2, Opgave 305, Side 244, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Brug
            Panserformlen.

Tak for svaret

Men hvad er Panserformlen, den er for mig en ubekendt formel, en formel som jeg ikke kender til ?

Er det muligt at få lidt flere oplysninger om Panserformelen.

På forhånd tak

Tak for svaret

Jeg ser på det

Rettelse:
                 

Tak for svaret

Jeg ser nærmer på det.

som med
                           
giver
                           

gennem (1,2):
                         

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på

Jeg på nettet fundet bevis for panserformlen. Beviset er hentet fra Matematisk bevissamling (systime.dk) som jeg gengive her ordret som det står i beviset som foregår i syv trin og dernæst har jeg spørgsmål til Svar #7 mathon.

Til en lineær differentialligning af første orden på formen

                                                        y' + h (x) • y = g(x)

er den fuldstændige løsning givet ved

                                               y = e^-H(x) • ( ∫ e^H(x) • g(x) dx + c )

hvor H( x ) er stamfunktion til h( x ) og h og g er kontinuerte i et givet interval.

Formlen kaldes panserformlen.

Bevis

1

                                                  y' + h (x) • y = g( x )

Vi tager udgangspunkt i selve differentialligningen.

2

                                   ( y' + h ( x ) • y ) • e^{H  (x )} = g (x) • e^{H ( x )}

Vi ganger med e^{H ( x )} på begge sider af lighedstegnet. Da h er kontinuert, findes stamfunktionen H( x ).

3

                                  y' • e^{H ( x )} + h( x ) • y • e^{H( x )} = g ( x ) • e^{H( x )}

Ganger ind i parentesen på venstresiden.

4

                                      ( e^{H ( x )} • y )' = g ( x ) • e^{H ( x )}

Venstresiden reduceres, idet vi anvender reglen for differentiation af produkt.

5

                                      ∫ (e^{H ( x )} • y )' dx = ∫ g ( x ) • e^{H ( x )} dx

Der integreres på begge side af lighedstegnet.

6

                                   e^{H ( x )} • y =  ∫ g ( x ) • e^{H ( x )} dx + c

Integration og differentiation ophæver hinanden. Der dannes en konstant c.

7

                             y = e^{-H ( x )} • ( ∫ e^{H ( x )}  g ( x ) dx + c )

Der ganges med e^{- H( x )}  på begge side af lighedstegnet.

--------------------------------------------------------------------------------

Så godt så langt.

I Svar #7

y'  - 2 y = 0

har løsningen:

                         y = Ce^{-A ( x )} + e^{-A ( x )} • ∫₀ e^Ax • b ( x ) dx

som jeg forstår er  b ( x ) = 0 højresiden af lighedstegnet.

giver 

           y = C₁ e^-kx  + e^-kx = ∫₀ A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂ e^-kx = C^-kx

1) Hvis jeg regner igennem får jeg følgende udtryk:

y = C₁ e^-kx  + e^-kx = ∫₀ A( x ) • 0 dx =  C₁ e^-kx  + e^-kx • 1 =    C₁ e^-kx  + e^-kx  

Mit spørgsmål er, hvor kommer leddet C₂ e^-kx fra så og man så kommer frem til C₁ e^-kx + C₂ e^-kx = C^-kx ?             

-----------

 y = C₁ e^-kx  + e^-kx = ∫0 A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂ e^-kx = C^-kx

gennem (1,2):

2 = C • e^-k • 1 

( jeg kan forstå at der bliver ganget med e^k • 1 på begge sider af lighedstegnet )

C = 2 • e^k

2) Mit spørgsmål er, hvordan man kommer fra anden lighedstegn C = 2 • e^k til det næste udtryk

y = 2 • e^{-kx + k} og hvad er k lig med?

I facitlisten side 395 er løsningerne:

a. f  ( x ) = 2e ^{2x -2}  

b. f  ( x ) = 2e ^{2x -2}  

På forhånd tak

Tak for svaret

Men mit spørgsmål er, hvorfra kommer C₂ e^-kx i udtrykket:

 y = C₁ e^-kx  + e^-kx = ∫0 A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂ e^-kx = C^-kx

På forhånd tak

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det