Matematik

Differentialligning og graf, Vejen til Matematik A2, Opgave 305, Side 244, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

24. september 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 305

Givet diffrentialligningen:

y' - 2 y = 0

a) Bestem den løsning, hvis graf går gennem ( 1, 2, )

b) Bestem den løsning, hvis graf går gennem ( 1, -2 )

Jeg vil meget gerne have et tip til hvordan man går i gang med løse opgave a og b for jeg har ikke noget bud på hvordan jeg skal gå igang med at løse opgaven.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
24. september 2023 af mathon

Brug
Panserformlen.

Svar #2
24. september 2023 af ca10

Tak for svaret

Men hvad er Panserformlen, den er for mig en ubekendt formel, en formel som jeg ikke kender til ?

Er det muligt at få lidt flere oplysninger om Panserformelen.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
24. september 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textup{Panserformlen:}\\&& y{\, }'+a(x)\cdot y=b(x)\\& \textup{har l\o sningen:}\\&& y=Ce^{-A(x)}+\int e^{A(x)}\cdot b(x)\,\mathrm{d}x\\\\& \textup{hvor}&A(x)\textup{er en stamfunktion til }a(x) \end{array}$

Svar #4
25. september 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser på det

Brugbart svar (1)

Svar #5
26. september 2023 af mathon

Rettelse:
$\small \begin{array}{lllll} \textup{har l\o sningen:}\\&& y=Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\cdot \int_{0}e^{Ax}\cdot b(x)\;\mathrm{d}x \end{array}$

Svar #6
26. september 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmer på det.

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. september 2023 af mathon

som med
$\small b(x)=0$
giver
$\small y=C_1e^{-kx}+e^{-kx}\cdot \int_0A(x)\cdot 0\;\mathrm{d}x=C_1e^{-kx}+C_2 e^{-kx}=Ce^{-kx}$

gennem (1,2):
$\small 2=C\cdot e^{-k\cdot 1}$

$\small C=2\cdot e^k$

$\small y=2\cdot e^{-kx+k}$

Svar #8
26. september 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på

Svar #9
27. november 2023 af ca10

Jeg på nettet fundet bevis for panserformlen. Beviset er hentet fra Matematisk bevissamling (systime.dk) som jeg gengive her ordret som det står i beviset som foregår i syv trin og dernæst har jeg spørgsmål til Svar #7 mathon.

Til en lineær differentialligning af første orden på formen

y' + h (x) • y = g(x)

er den fuldstændige løsning givet ved

y = e^-H(x) • ( ∫ e^H(x) • g(x) dx + c )

hvor H( x ) er stamfunktion til h( x ) og h og g er kontinuerte i et givet interval.

Formlen kaldes panserformlen.

Bevis

y' + h (x) • y = g( x )

Vi tager udgangspunkt i selve differentialligningen.

( y' + h ( x ) • y ) • e^{H (x )} = g (x) • e^{H ( x )}

Vi ganger med e^{H ( x )} på begge sider af lighedstegnet. Da h er kontinuert, findes stamfunktionen H( x ).

y' • e^{H ( x )} + h( x ) • y • e^{H( x )} = g ( x ) • e^{H( x )}

Ganger ind i parentesen på venstresiden.

( e^H^{( x )} • y )' = g ( x ) • e^H^{( x )}

Venstresiden reduceres, idet vi anvender reglen for differentiation af produkt.

∫ (e^H^{( x )} • y )' dx = ∫ g ( x ) • e^H^{( x )}dx

Der integreres på begge side af lighedstegnet.

e^H^{( x )} • y = ∫ g ( x ) • e^H^{( x )} dx + c

Integration og differentiation ophæver hinanden. Der dannes en konstant c.

y = e^-H^{( x )}• ( ∫ e^H^{( x )} g ( x ) dx + c )

Der ganges med e^{- H}^{( x )} på begge side af lighedstegnet.

--------------------------------------------------------------------------------

Så godt så langt.

I Svar #7

y' - 2 y = 0

har løsningen:

y = Ce^-A^{( x )}+ e^-A^{( x )} • ∫₀ e^Ax• b ( x ) dx

som jeg forstår er b ( x ) = 0 højresiden af lighedstegnet.

giver

y = C₁ e^-kx+ e^-kx = ∫₀ A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂e^-kx = C^-kx

1) Hvis jeg regner igennem får jeg følgende udtryk:

y = C₁e^-kx + e^-kx = ∫₀ A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + e^-kx • 1 = C₁ e^-kx + e^-kx

Mit spørgsmål er, hvor kommer leddet C₂ e^-kx fra så og man så kommer frem til C₁ e^-kx + C₂ e^-kx= C^-kx ?

-----------

y = C₁ e^-kx + e^-kx = ∫0 A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂ e^-kx = C^-kx

gennem (1,2):

2 = C • e^-k • 1

( jeg kan forstå at der bliver ganget med e^k • 1på begge sider af lighedstegnet )

C = 2 • e^k

2) Mit spørgsmål er, hvordan man kommer fra anden lighedstegn C = 2 • e^k til det næste udtryk

y = 2 • e^{-kx + k} og hvad er k lig med?

I facitlisten side 395 er løsningerne:

a. f ( x ) = 2e ^{2x -2}

b. f ( x ) = 2e ^{2x -2}

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #10
27. november 2023 af mathon

$C=C_1+c_2$

Svar #11
27. november 2023 af ca10

Tak for svaret

Men mit spørgsmål er, hvorfra kommer C₂ e^-kxi udtrykket:

y = C₁ e^-kx + e^-kx = ∫0 A( x ) • 0 dx = C₁ e^-kx + C₂ e^-k^x = C^-kx

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #12
27. november 2023 af mathon

$\int 0\;\mathrm{d}x=C$

Svar #13
27. november 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det

Svar #14
04. december 2023 af ca10

I Svar # 5 mathon

y = C₁^{A ( x )}+ e^{A( x )} • ∫₀ A( x ) • 0 dx

I Svar # 7 mathon står der nu

y = C₁ e^-kx + e^-kx • ∫₀ A( x ) • 0 dx

Jeg har to spørgsmål:

1) Er A (x ) = k og hvor kommer x fra?

Og ∫ 0 dx = C ( I Svar # 12 )

Så får jeg

y = C₁ e^-kx + e^-kx• ∫₀A( x ) • 0 dx

= C₁ e^-kx + C₂ e^-kx

= C₁e^-kx + C₂ e^-kx = Ce^-kx

Som går igennem ( 1 , 2 )

Ifølge Svar # 7 indsætter ( 1, 2 ) i udtrykket:

2 = Ce^-k •1

C = 2 e^-k

y = 2 • e^{-kx + k}

2) i løsningen y = 2 • e^-kx ^{+ k}, hvorfra kommer at til potensen -kx skal der lægges k til så der står -kx + k?

På forhånd tak

Svar #15
04. december 2023 af ca10

I Svar # 5 mathon

y = C₁^{A ( x )}+ e^{A( x )} • ∫₀ A( x ) • 0 dx

I Svar # 7 mathon står der nu

y = C₁ e^-kx + e^-kx• ∫₀ A( x ) • 0 dx

Jeg har to spørgsmål:

1) Er A (x ) = k og hvor kommer x fra?

Og ∫ 0 dx = C ( I Svar # 12 )

Så får jeg

y = C₁ e^-kx + e^-kx• ∫0 A( x ) • 0 dx

= C₁ e^-kx + C₂ e^-kx

= C₁ e^-kx+ C₂e^-kx = Ce^-kx

Som går igennem ( 1 , 2 )

Indsætter ( 1, -2 ) i udtrykket:

2 = Ce^-k •1

C = 2 e^-k

y = 2 • e^{-kx + k}

Indsætter ( 1, -2 ) i udtrykket:

-2 = Ce^-k •1

C = -2 e^-k

y = -2e^{-kx + k}

2) i løsningen y = 2 • e^{-kx + k}, hvorfra kommer at til eksponenten -kx skal der lægges k til så der står -kx + k?

Er der nogle der kan vise hvordan man kommer frem til at løsningen

a) f (x ) = 2e^{2x - 2}

b) f (x ) = -2e^{2x -2}

som den står i facitlisten, da jeg er kørt fast.

PÅ forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #16
04. december 2023 af mathon

y = C₁ e^-kx + e^-kx• ∫₀A( x ) • 0 dx

$\small \small \begin{array}{lllllll}&&& C_1\cdot e^{-kx}+e^{-kx}\cdot \int _0 0\mathrm{d}x=\\\\&&& C_1\cdot e^{-kx}+e^{-kx}\cdot C_2\\& \textup{da }C{\, }'=0\\& \textup{er }\int 0\mathrm{dx}=C\\\\&&& y=\left (C_1+ C_2 \right )e^{-kx}\\\\&&& y=C\cdot e^{-kx}\\&\textup{gennem }(1,2)\\&&& 2=C\cdot e^{-k\cdot 1}\\\\&&&C=2\cdot e^{\, k}\\&\textup{hvoraf}\\&&&y=2\cdot e^k\cdot e^{-kx}=2\cdot e^{k+(-kx)}\\\\\\&&&y=2\cdot e^{-kx+k} \end{}$

Svar #17
04. december 2023 af ca10

Tak for svaret

Nu kan jeg se hvordan man kommer frem til løsningen

Svar #18
05. december 2023 af ca10

Til Svar16 mathon

Givet diffrentialligningen:

y' - 2 y = 0

Til en lineær differentialligning af første orden på formen

y' + h (x) • y = g(x)

er den fuldstændige løsning givet ved

y = e^-H(x) • ( ∫ e^H(x)• g(x) dx + c )

Så

y = C₁e^-kx + e^-kx • ∫₀ A( x ) • 0 dx = C₁ • e^-kx + C₂•e^-kx = C1 e^-kx + C₂ e^-kx = Ce^-kx

Som går igennem ( 1 , 2 )

Indsætter ( 1, -2 ) i udtrykket:

2 = Ce^-kx

C= 2 • e^k

y = 2 • e^{-kx +k}

-2 = C • e^-kx

C = - 2 • e^-kx

Y = -2 • e^{-kx + k}

C = 2 e^-k og C = 2 e^-k indsættes og her anvendes potensreglen a^r_•a^s = a^{r + s} Jeg kan godt se nu at det burde jeg have vidst, jeg beklager.

y = 2e^{-kx + k}

y = 2 • e^k • e^- kx = 2 • e^{k + (-kx)} = y = 2 • e^{-kx + k}

-2 = C • e ^k

Hvis H ( x ) erstattes af

A (x) og y' + A(x) • y = g(x)

så er y' - 2 y = 0 så er A (x) = k = - 2

Så indsættes k = - 2 så får man

a) y = 2 • e^-(-2)x ^{+ (-2)} = 2e^{2x - 2}

b) y = - 2 • e^{-(-2)x + (-2)} = - 2e^{2x - 2}

Mit spørgsmål er at A (x) = k = - 2 så er min løsning rigtig eller er den forkert?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #19
05. december 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll}\textbf{b)}\\& \textup{L\o sning:}\\&& y=C\cdot e^{-kx}\\&\textup{gennem }\left ( 1,-2 \right )\textup{:}\\&&-2=C\cdot e^{-k\cdot {\color{Red} 1}}\\\\&& C=-2\cdot e^{k}\\&\textup{dvs}\\&& y=-2\cdot e^k\cdot e^{-kx}\\\\\\&&f(x)=y=-2\cdot e^{-kx+k} \end{}$

Svar #20
05. december 2023 af ca10

Tak for svaret

Opgave 305

Givet diffrentialligningen:

y' - 2 y = 0

a. Bestem den løsning, hvis graf går gennem ( 1 , 2 )

b. Bestem den løsning, hvis graf går gennem ( 1 , - 2)

I Svar # 19 mathon er løsning b er angivet som følger:

Gennem ( 1 , -2 )

y = C • e^-kx

- 2 = C • -k • 1

C = - 2 • e^k • e^-kx

dvs

y = - 2 • e^{-kx + k}

f ( x ) = y = - 2 • e^{-kx +k}

I facitlisten side 395 er løsningen:

a) f ( x ) = 2e^{2x - 2}

I facitlisten side 395 er løsningen:

b) f ( x ) = -2e^{2x - 2}

Mit spørgsmål er igen A ( x ) = k = - 2 ?

På forhånd tak

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.