Matematik

cirkler, koordinatsæt og skæring

20. oktober 2023 af 00245 - Niveau: A-niveau

En cirkel er givet ved x^2+2x+y^2-6y=15

Og en linje er givet ved ligningen x-2y+2=0

a. Bestem koordinatsættet til hvert af cirklens skæringspunkter med linjen.

Skæringspunktet med den mindste førstekoordinat kaldes Q

b. Bestem ligningen for tangenten til cirklen i Q.

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. oktober 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textbf{a)}\\& \textup{Sk\ae ring kr\ae ver:}\\&& x^2+2x+y^2-6y=15\quad \wedge\quad x=2y-2\\\\&\textup{dvs}\\&& \left (2y-2 \right )^2+2\cdot \left ( 2y-2\ \right )+y^2-6y=15\\\\&&y^2-2y-3=0\\\\&&y=\left\{\begin{matrix} -1\\3 \end{matrix}\right.\\\\&& x=\left\{\begin{matrix} -4\\4 \end{matrix}\right.\\\\&\textup{Sk\ae ringspunkter:}\\&&\left ( -4,-1 \right )\quad \textup{og}\quad \left ( 4,3 \right ) \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. oktober 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllll}\textbf{b)}\\& \textup{Cirkelligningen}\\& \textup{omskrives til:}\\&& \left (x+1 \right )^2+\left (y-3 \right )^2=5^2\\\\& \textup{Tangenten i }Q=\left ( -4,4 \right )\textup{:}\\&& \left (-4+1 \right )\cdot \left (x+1 \right )+\left (4-3 \right )\left (y-3 \right )=25\\\\&& -3\cdot \left ( x+1 \right )+y-3=25\\\\&& -3x-3+y-3=25\\\\&& y=3x+31 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
20. oktober 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{Anvendt teori:}\\& \textup{Cirklen:}&\left ( x-a \right )^2+\left(y-b\right)^2=r^2\\& \textup{eller noteret:}\\&& \left ( x-a \right )\cdot \left ( x-a \right )+\left(y-b\right)\cdot \left(y-b\right)=r^2\\\\& \textup{har i }P\left ( x_o,y_o \right )\\& \textup{tangenten:}\\&& \left (x _o-a \right )\cdot \left ( x-a \right )+\left(y_o-b\right)\cdot \left(y-b\right)=r^2 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
20. oktober 2023 af mathon

korrektion for fejltastning:

$\small \small \small \begin{array}{llllll}\textbf{b)}\\& \textup{Cirkelligningen}\\& \textup{omskrives til:}\\&& \left (x+1 \right )^2+\left (y-3 \right )^2=5^2\\\\& \textup{Tangenten i }Q=\left ( -4,\textbf{{\color{Red} -1}} \right )\textup{:}\\&& \left (-4+1 \right )\cdot \left (x+1 \right )+\left (-1-3 \right )\left (y-3 \right )=25\\\\&& -3\cdot \left ( x+1 \right )-4\left (y-3 \right )=25\\\\&& -3x-3-4y+12=25\\\\&& 3x+4y+16=0\\\\&& \end{array}$

Skriv et svar til: cirkler, koordinatsæt og skæring

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.