Matematik

Bestem vinklen mellem banekurvens to tangenter i punktet Q

29. november 2023 af Anonym706 - Niveau: A-niveau

I et koordinatsystem bevæger et punkt P sig således, at til tidspunktet t er stedvektoren til punktet P vektorfunktionen givet ved parameterfremstillingen: s(t) = [(t^2)+1, (t^3)-t+2] Punktet P passere punktet Q(2,2) til tidspunkterne t1 og t2
t1 = -1
t2 = 1

Bestem ligningerne for hver af banekurvens to tangenter i punktet Q.
1 = -x -y + 4 = 0
t2 = x + y = 0

Her er problemet: Bestem vinklen mellem banekurvens to tangenter i punktet Q

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. november 2023 af mathon

Vinklen mellem to rette linjer
er lig med vinklen mellem deres normalvektorer
dvs vinklen meller vektorerne:

$\small \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}\textup{ og }\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$

Svar #2
29. november 2023 af Anonym706

Hvilken formel skal jeg bruge til at udregne dette?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. november 2023 af mathon

$\small \cos(v)=\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left | \overrightarrow{a} \right |\cdot \left |\overrightarrow{b} \right |}$

Svar #4
29. november 2023 af Anonym706

Men det jeg ike forstår er at vi er i gang med at finde vinklen mellem to vektorere? Er dette det samme som at finde vinklen mellem banekurvens to tangenter som jeg har udregnet tidligere?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. november 2023 af mathon

Ja.
$\small \cos(v)=\frac{\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. november 2023 af mathon

Hvordan stemmer det med
$\small \begin{vmatrix} -1 &1 \\ -1&1 \end{vmatrix}=0 ?$

Brugbart svar (0)

Svar #7
29. november 2023 af ringstedLC

#0: Dine tangentligninger er ikke rigtige:

$\begin{align*} \vec{s}\,'(t_1)=\binom{2\cdot 1}{3\cdot 1^2-1} &= \binom{2}{2}\Rightarrow \vec{n}_{tang_1}=\binom{-2}{2} \\ tang_1:-2\cdot \bigl(x-2\bigr)+2\cdot \bigl(y-2\bigr) &= 0 \\-x+y &= 0\Rightarrow y=x \\ \vec{s}\,'(t_2)=\binom{2\cdot (-1)}{3\cdot (-1)^2-1} &= \binom{-2}{2}\Rightarrow \vec{n}_{tang_2}=\binom{-2}{-2} \\ tang_2:-2\cdot \bigl(x-2\bigr)-2\cdot \bigl(y-2\bigr) &= 0 \\x+y-4 &= 0\Rightarrow y=-x+4 \\ \Rightarrow tang_1 &\perp tang_2 \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. november 2023 af mathon

med rettede tangenter:

$\small \begin{array}{llllll} \begin{matrix} \textup{tang}_1\textup{:}&&-x+y=0\\\textup{tang}_2\textup{:}&& \, \, \, \, x+y=4 \end{matrix}\\\\& \cos\left ( v \right )=\frac{\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+1^2}}\qquad 0\leq v\leq 180\degree\\\\&\cos(v)=0\\\\& v=90\degree \end{}$

eller

.
$\small \begin{array}{llllll}&& \textup{tang}_1\textup{:}&y=1x\\&&\textup{tang}_2\textup{:}& y=-1x+4 \\\\\textbf{Netop n\aa r}&&\textup{produktet af }&\textup{to rette linjers h\ae ldningskoefficienter er }-1\\&&\textup{\textbf{er} linjerne }&\textup{ortogonale;}\\\textup{hvilket jo}&&\textup{er en \textbf{noget}}& \textup{\textbf{hurtigere} konklusion.} \end{}$

Skriv et svar til: Bestem vinklen mellem banekurvens to tangenter i punktet Q

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.