Matematik

Bestem koordinaterne l punkterne 𝐴, 𝐵, 𝐶 og 𝐷.

07. december 2023 af lepidoptera - Niveau: A-niveau

Hejsa, vi sidder fast i den markerede opgave (3) - Hvad skal vi gøre?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-12-07 205642.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2023 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2023 af Eksperimentalfysikeren

I har cirklernes ligninger og ligningen for den ene tangent.

Bestem A: A ligger både på tangenten og den store cirkelbue, så A's koordinater opfylder begge ligninger, så I har to ligninger med to ubekendte. Den ene er dog af anden grad. Isoler y i tangentligningen og indsæt udtrykket for y i cirkelligningen. Det giver en andengradsligning i x. Den løser I. B findes så ved spejling i symmetriaksen. og D på samme måde som A og B.

Brugbart svar (0)

Svar #3
07. december 2023 af peter lind

Du har jo både at punkterne skal ligge på en af cirklerne og på tangenten. Det giver to ligninger med to ubekendte, som du kan løse.

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. december 2023 af M2023

#0. Må jeg spørge, hvordan I løste 2)?

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. december 2023 af M2023

#0. a) Stor cirkel: (x - 80)² + (y - 80)² = 3600. Lille cirkel: (x - 180)² + (y - 80)² = 900.

b) Antag at P = (x,y) er et punkt på den øvre tangent. Der gælder, at AP·FA = 0.

$\overrightarrow{FA}=\begin{pmatrix} |FA'| \\ |AA'| \end{pmatrix}$

$|FA'|=60\cdot \frac{60}{200}=18$

$|AA'|=20\sqrt{91}\cdot \frac{60}{200}\approx 57,24$

$A=\begin{pmatrix} 80+18 \\ 80+57,24 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 98 \\ 137,24 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AP}=\begin{pmatrix} x-98 \\ y-137,24 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{FA}=\begin{pmatrix} 18 \\ 57,24 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{FA}=0\Rightarrow \begin{pmatrix} x-98 \\ y-137,24 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 18 \\ 57,24 \end{pmatrix}=0\Leftrightarrow$

$18x+57,24y-9619,62=0$

Vedhæftet fil:tangenter.png

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. december 2023 af M2023

#0. c)

$A=\begin{pmatrix} 98\\137,24 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 98\\80-57,24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 98\\22,76 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 180+9\\80+57,24/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 189\\108,62 \end{pmatrix}$

$D=\begin{pmatrix} 189\\80-57,24/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 189\\51,38 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2023 af M2023

#4. Se eventuelt https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2081929.

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. december 2023 af M2023

#0. 4)

$\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{BP}=0\Rightarrow \begin{pmatrix} 18\\ -57,24 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x-98 \\ y-22,76 \end{pmatrix}=0\Leftrightarrow$

$18x-57,24y-461,2=0$

Brugbart svar (0)

Svar #9
09. december 2023 af M2023

#0. 5) Vinklen af den store cirkelbue kaldes v_S. Vinklen F i trekant AA'F kaldes v_F. V_S = 2·(180° - v_F). Tan(V_F) = 57,24/18 ⇒ v_F = 72,54°. Det vil sige, at v_S = 2·(180° - 72,54°) = 214,9°. Den store buelængde er dermed: 2·π·(60 mm)·(214,9/360) = 225,1 mm.

For den lille bue får man: 2·π·(30 mm)·(360-214,9)/360 = 75,96 mm.

Længden af de lige sider:

$|AC|=\sqrt{(189-98)^2+(108.62-137,24)^2}\;mm=\textbf{95,39\;mm}$

Samlet omkreds: (225,1 + 75,96 + 2·95,39) mm = 491,84 mm

Tiden er: (491,84/40) min = 24,6 min

Svar #10
10. december 2023 af lepidoptera

Hvordan fandt du B og D?

#6
#0. c)

$A=\begin{pmatrix} 98\\137,24 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 98\\80-57,24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 98\\22,76 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 180+9\\80+57,24/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 189\\108,62 \end{pmatrix}$

$D=\begin{pmatrix} 189\\80-57,24/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 189\\51,38 \end{pmatrix}$

Brugbart svar (0)

Svar #11
10. december 2023 af ringstedLC

#2

I har cirklernes ligninger og ligningen for den ene tangent.

Bestem A: A ligger både på tangenten og den store cirkelbue, så A's koordinater opfylder begge ligninger, så I har to ligninger med to ubekendte. Den ene er dog af anden grad. Isoler y i tangentligningen og indsæt udtrykket for y i cirkelligningen. Det giver en andengradsligning i x. Den løser I. B findes så ved spejling i symmetriaksen. og D på samme måde som A og B.

$\begin{align*} A &= \binom{80+18}{y_F+6\sqrt{91}} &,\;C &= \binom{180+9}{y_G+3\sqrt{91}} \\ B &= \binom{x_A}{y_F-6\sqrt{91}} &,\;D &= \binom{x_C}{y_G-3\sqrt{91}} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. december 2023 af M2023

#10. Hvordan fandt du B og D?

Angående B: Se #5 hvor |AA'| erstattes med -|AA'|.

Angående D: Se #5 hvor F erstattes med G, og der lægges 1/2 gange vektor FB til vektor OG.

Svar #13
10. december 2023 af lepidoptera

#9
#0. 5) Vinklen af den store cirkelbue kaldes v_S. Vinklen F i trekant AA'F kaldes v_F. V_S = 2·(180° - v_F). Tan(V_F) = 57,24/18 ⇒ v_F = 72,54°. Det vil sige, at v_S = 2·(180° - 72,54°) = 214,9°. Den store buelængde er dermed: 2·π·(60 mm)·(214,9/360) = 225,1 mm.

For den lille bue får man: 2·π·(30 mm)·(360-214,9)/360 = 75,96 mm.

Længden af de lige sider:

$|AC|=\sqrt{(189-98)^2+(108.62-137,24)^2}\;mm=\textbf{95,39\;mm}$

Samlet omkreds: (225,1 + 75,96 + 2·95,39) mm = 491,84 mm

Tiden er: (491,84/40) min = 24,6 min

Hvordan har du fået det til 24,6? Vi har fået det til 12,29 min

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. december 2023 af ringstedLC

Det er vist en "ups":

$\begin{align*} t &= \frac{491.84}{40}\;\textup{min}=12.{\color{Red} 30}\;\textup{min} \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. december 2023 af M2023

#13...Hvordan har du fået det til 24,6? Vi har fået det til 12,29 min.

I har ret!

Skriv et svar til: Bestem koordinaterne l punkterne 𝐴, 𝐵, 𝐶 og 𝐷.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.