Bestemme f(g(x)) og g(f))

#0

"gerne med nogle lignende opgaver med løsninger, så jeg kan få det repeteret igen."

Hvis det skal forklares dybdegående, forudsætter det at vi definerer begrebet en funktion.

En funktion er et begreb der til ethvert element i en mængde tildeler netop et element i en anden mængde, hvor elementerne er tal. 

Man bruger skrivemåden f : A → B (læses, funktionen f fra mængden A til mængden B). Det betyder at for ethvert tal i mængden A hører netop et tal i mængden B.

Jeg er klar over at dette (nok) er mere stringent defineret end den måde det er blevet definieret i undervisningen. Jeg er også klar over at det hurtigt bliver mere formelt, men jeg skal forsøge at gøre det klart alligevel. Detaljerne er vigtige for den dybere- og fulde forståelse.

Hvis vi tager udgangspunkt i funktionen f : A → B kunne vi tage eksemplet at

 A = {1, 2, 3, 4} og B = {3, 4, 5, 6}.

Indtil videre ved vi ikke hvilken sammenhæng der er mellem tallene i A og B. Det eneste vi ved er at hver af de fire tal i A er forbundet til netop et tal i B.

Ex:

Lad os som et eksempel sige at tallene i A og B er forbundet på følgende måde:

1 → 3

2 → 4

3 → 6

4 → 5.

Dette vil man skrive på følgende måde:

f(1) = 3

f(2) = 4

f(3) = 6

f(4) = 5.

Bemærk at vi indtil videre ikke har introduceret en forskrift. Vi kigger udelukkende på hvad funktionen "gør".

_______________________________________________________

Lad os sige at vi nu har en anden funktion g : B → C (altså en funktion g, fra mængden B til mængden C), og hvis vi som eksempel vælger at mængden C = {-2, -1, 7, 10}, så kunne mængderne B og C (igen kun et eksempel) være forbundet på følgende måde:

3 → 7

4 → -1

5 → 10

6 → -2,

eller skrevet som i overstående:

g(3) = 7

g(4) = -1

g(5) = 10

g(6) = -2.

Fortsættes eksemplet så vil den sammensatte funktion (læses g af f) være funktionen 

g ο f : A → B → C.

Altså vil vi i eksemplet få at g ο f vil være funktionen der forbinder mængderne A, B og C på følgende måde:

1 → 3 → 7, 

g(f(1)) = g(3) = 7.

2 → 4 → -1,

g(f(2)) = g(4) = -1.

3 → 6 → -2,

g(f(3)) = g(6) = -2.

4 → 5 → 10,

g(f(4)) = g(5) = 10.

Det blev en lang forklaring... Jeg håber at det giver mening. Det kræver dog at du læser det grundigt og bruger til på at ville prøve at forstå det - så gør dig selv den tjeneste og husk at matematik kræver tid.

ad opgave 4
Det er værd at få definitionsmængderne med for de sammensatte funktioner,
  således:
f _º g(x)    for alle  x  ≥  4
g _º f(x)    for alle  x  ≥  2 - ^{log 3}/_{log 2}

.