Absolutværdi for reelle tal, udsagnslogik

Jeg har sat det op på følgende måde:

NB: Jeg har gjort prøve på den løsning jeg har fundet - det glemte jeg lige at skrive. Mit spørgsmål er udelukkende om jeg har fundet alle reelle løsninger og i så fald, hvordan dette gøres :)

|x-1|² = (x-1)² = x²-2x+1 >= 0

Derefter kan du dele det op eftersom x>=0 og x<0

|x - 1| = x  hvis x ≥ 1,

|x - 1| = -x hvis x < 1,

Her er der en fejl.:

|x-1| = x-1 hvis x ≥ 1

|x-1| = -(x-1) = -x+1 hvis x < 1.

Du deler op i 2 intervaller, men du skal dele op i 3 intervaller nemlig ]-∞;0[ ∪ [0;1[ ∪ [1;∞[.

Det er dog bedre at benytte at |a|² = a² som vist ovenfor.

#3

Mange tak for svaret.

Jeg har siddet at kigget på det. 

Når jeg løser andengradsligningen (x - 1)² = x² - 2x + 1 = 0 får jeg løsningen x = 0

( hvilket stemmer overens med polynomiet (x - 1)² + 0 ). 

Altså må andengradsuligheden (x - 1)² = x² - 2x + 1 ≥ 0 være opfyldt for alle x ∈ R (da den førende/leddende koefficient er positiv).

Jeg har fundet toppunktet til det tilhørende andengradspolynomium til værende (1, 0).

Altså må der af betragtningerne gælde at

(((x < 0) ⇒ (y > 1)) ∧ ((y > 1) ⇒ (x < 0))) ⇔ ((x < 0) ⇔ (y > 1)))

og tilsvarende

(x ≥ 0) ⇔ (y ≥ 0).

Jeg er dog i tvivl om hvordan jeg skal betragte dette i forhold til opgaven. ...eller har jeg misforstået noget?

Ligningen virker i virkeligheden ret simpel, men jeg synes hurtigt at jeg kommer til at overkomplicere det en del, uanset hvordan jeg lige vender og drejer det.

(Opgaven er uden hjælpemidler tilladt)

#4

Mange tak for svaret også. 

Jeg havde ikke opdateret siden og så derfor ikke dit svar.

Jeg prøver at kigge på det og vender tilbage derefter.

#4

Hej igen

"Her er der en fejl.:

|x-1| = x-1 hvis x ≥ 1

|x-1| = -(x-1) = -x+1 hvis x < 1."

Tak for rettelsen; det kan jeg godt se.

Jeg har prøvet at holde en lille pause fra det, men jeg ved simpelthen ikke om jeg har stirret mig blind på den.

Det virker måske som et pinligt spørgsmål at stille, men hvor kommer intervallet ]-∞;0[ fra? Jeg tænker at det må hænge sammen med ligningens højreside, er det korrekt forstået?

#3, #4

"Det er dog bedre at benytte at |a|² = a² som vist ovenfor."

Lige et enkelt spørgsmål hvad angår dette. 

Der er selvfølgelig altid valgfrihed angående metoden når ikke at der ikke er stillet yderligere specifikke krav i opgavebeskrivelsen. Jeg kan godt se at det er en hel del mere bekvemt at bruge at |a|² = a². Jeg tror dog at det er tiltænkt at vi skal løse ligningen ved at indføre en tautologi og bruge de sætninger og definitioner der gælder i og knytter sig til udsagnslogikken. Jeg tænker derfor at det er godt at kunne finde ud af at bruge begge metoder.

Hvis jeg stiller det op på samme måde i #1 (selvom det i praksis naturligvis er langt mere besværligt og omstændigt end blot at tage kvadratet), hvordan gøres det så? Vil jeg så i stedet skulle indføre tautologien 

(( x ∈ ]-∞; 0[ ) ∨ ( x ∈ [0; 1[ ) ∨ ( x ∈ [1; ∞[ ))?

Endnu engang, tak på forhånd begge to

Det er netop den opdeling du skal bruge, hvis du altså vil bruge den mere besvæærlige metode

#0.

#9

Mange tak! 

#3, #4

Nu forstår jeg hvad I mener. Jeg havde vist brug for at se på det med friske øjne :)

#9. Den mere formelle metode er, at du opstiller en tallinje og inddeler den i tre dele: ]-∞;0], ]0;1] og ]1;∞]. Tallene 0 og 1 er nulpunkterne for de to numeriske parenteser. I det første interval får du:

Tilsvarende for de to andre intervaller. Ved metoden i #9 sparer man et interval.

Nu kan jeg se det. Mange tak og god fredag!

Det kunne være meget lettere at kigge på en simplere metode (uden logiske symboler), derefter omdanne mellemregningerne til det, man ville have. Fordi |y|² = y², får man

|x-1|² = x² + |x|  ⇔ x² + 1 - 2x = x² + |x|  ⇔ |x| + 2x = 1. Her deler man så i to tilfælde.

* Hvis x ≥ 0, så er det 3x = 1, dvs. x = 1/3.

* Hvis x < 0, så er det x = 1, hvilket er umuligt.

Det ovenstående kan dermed formuleres således:

(|x-1|² = x² + |x|)

⇔ (|x| + 2x = 1)

⇔ (|x| + 2x = 1 ∧ x ≥ 0) ∨ (|x| + 2x = 1 ∧ x < 0)

⇔ (3x = 1 ∧ x ≥ 0) ∨ (x = 1 ∧ x < 0)

⇔ (x = 1/3) ∨ (x ∈ ∅)

⇔ x = 1/3.

Jeg har nu læst hele tråden igennem og kan se, at mit svar ligner #9's. Det var måske ikke nødvendigt at skrive mit svar alligevel.

#14

Det var faktisk fuldstændig sådan jeg endte med at gøre det.

#15

Nej, det skal du endelig ikke tænke:) Mange tak også.

Jeg må have haft en dårlig dag da jeg oprettede spørgsmålet, for den ene løsning jeg fik i #1 (og som jeg udover at lave en fortegnsfejl, gjorde prøve på), er jo ikke engang en løsning. 

Men som sagt, jeg er meget glad for alle inputene i tråden.