Matematik

Beregne polære koordinater til z^7

27. september 2024 af Harbrugforhjælptilmat - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg får givet i en opgave at der for et komplekst tal z gives at Arg(z)=-pi/3 og |z|=2

Jeg skal derefter finde både de polære koordinater og den rektangulære form af z^7

Jeg er virkelig på bar bund omkring hvordan jeg skal regne på z^7, om jeg måske bare skal opløfte hele min udregning i ^7?

Al hjælp vil være dejligt, tak på forhånd

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. september 2024 af peter lind

|z|⁷ = 2⁷= ?

arg(z⁷) = 7*π/3 = ?

Svar #2
27. september 2024 af Harbrugforhjælptilmat

Så når jeg regner de polære koordinater kan det så passe at jeg skal bruge formlen z⁷=|z|⁷*e^7*π/3

og så derefter sige z⁷=2⁷*(cos(7*π/3)+sin(7*π/3)i)

z7=27*(cos(7*1/2)+sin(7*1/2√3)i)

Brugbart svar (1)

Svar #3
27. september 2024 af M2023

#0. Hvis z = a·e^i·b, så er z⁷ = (a·e^i·b)⁷ = a⁷·e^i·7·b = a⁷·(cos(7·b) + i·sin(7·b)). I dette tilfælde er a = 2 og b = π/3. Man får derfor:

z⁷ = 2⁷·e^i·7π/3 = 128·e^i·7π/3 = 128·e^i·π/3 = 128·(cos(π/3) + i·sin(π/3)) = 128·(1/2 + i·√3/2) = 64·(1 + i√3).

Svar #4
27. september 2024 af Harbrugforhjælptilmat

Okay og så er vi enige om at når det komplekse tal er skrevet som 64*(1+i√3) så er det skrevet på rektangulær form altså som (z=Re(z)+Im(z)i)

Men så for at få de polære koordinater så vidt jeg kan forstå er de skrevet op som

|z|*(cos(arg(z))+sin(arg(z))i)

Ville den rigtige måde at skrive det op på så være

128*(cos(7*π/3)+sin(7*π/3)i

eller

128*(cos(7*1/2)+sin(7*(1/2√3))i

eller skal man regne mere på dem?

Svar #5
27. september 2024 af Harbrugforhjælptilmat

Nårh jeg har lige spottet hvorfor du gjorde som du gjorde, mange tak for hjælpen!

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. september 2024 af peter lind

Argumentet er periodisk med perioden 2π så du kan trække 2π fra i argumentet Du bør også skrive sinus og cosinus som tal

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. september 2024 af M2023

#3
z⁷ = 2⁷·e^i·7π/3 = 128·e^i·7π/3 = 128·e^i·π/3 (polær form)

= 128·(cos(π/3) + i·sin(π/3)) = 128·(1/2 + i·√3/2) = 64·(1 + i√3) (rektangulær form)

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. september 2024 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \left(2\cdot e^{\textbf{\textit{i}}\cdot\left(-\frac{\pi}{3} \right )}\right )^7=2^7\cdot e^{\textbf{\textit{i}}\cdot\left(-\frac{7\pi}{3} \right )}=2^7\cdot e^{\textbf{\textit{i}}\cdot\left(-\frac{7\pi}{3} +2\pi\right )}=\mathbf{\color{Red}{128\cdot e^{\textbf{\textit{i}}\cdot\left(-\frac{\pi}{3} \right )}}}=\\\\ 128\cdot \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3} \right )+\textbf{\textit{i}}\cdot \sin\left(-\frac{\pi}{3} \right ) \right )=128\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{3} \right )-\textbf{\textit{i}}\cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} \right ) \right )=\\\\128\cdot \frac{1}{2}-\textbf{\textit{i}}\cdot128\cdot\frac{\sqrt{3}}2{}=\mathbf{\color{Red}{64-\textbf{\textit{i}}\cdot64\sqrt{3}}} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. september 2024 af M2023

#7. Rettelse:

z⁷ = 2⁷·e^{i·7·(-π/3)} = 128·e^-i·7π/3 = 128·e^-iπ/3 (polær form med argument i intervallet ]-π;π])

= 128·(cos(-π/3) + i·sin(-π/3)) = 128·(1/2 - i·√3/2) = 64·(1 - i·√3) (rektangulær form).

Skriv et svar til: Beregne polære koordinater til z^7

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.