Matematik

Kombinatorik, Udtagelse af ordnede delmængde uden tilbagelægning, Eksempel 3, Side 20, ( E. Skovbjerg og Å. Sørensen)

17. november 2024 af ca10 - Niveau: 9. klasse

Eksempel 3

Vi betragter delmængdeudtagelsen i eksempel 2 som et eksperiment, og vi ser på opgaven:

Find sandsynligheden for hændelse h: Det dannede tal er mindre end 500.

Hvis tallet skal være mindre end 500, skal det første ciffer være 1, 2, 3 eller 4. Ved første trin er der derfor kun fire muligheder, der er gunstige for h.

Vi har da:

1 ) Antal udfald, der er gunstige for h: ( 4 • 7 • 8 ) udfald

2) Udfaldsrummet indeholder: ( 9 • 8 • 7 ) udfald

4 • 7 • 8 4

3 ) Sandsynligheden for h : ---------------- = ------ ≈ 0,44

9 • 8 • 7 9

Jeg er godt klar at hvis tallet skal være mindre end 500 så skal det første ciffer f.eks være tallet 4, og der er iøvrigt fire ciffere at vælge imellem 1, 2, 3 eller 4. Og cifferet 4 lægges ikke tilbage, idet der er tale om udtagelse af ordnede delmængder uden tilbagelægning.

Så derefter kan man kun vælge vælge imellem cifferene 1, 2 eller 3.

Jeg er klar over at man anvender multiplikationsprincippet.

Så jeg forstår at der er 4 muligheder ved første valg af ciffer.

Mit spørgsmål er:

I 1) udregningen af antal udfald ( 4 • 7 • 8 ) hvorfra kommer tallene 7 og 8?

I 2) udfaldsrummet ( 9 • 8 • 7 ), hvorfra kommer tallene 9 • 8 • 7?

I den vedhæftede fil ses eksempel 3 og eksempel 2 som der henvises til i eksempel 3.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Kombinatorik.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. november 2024 af peter lind

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. november 2024 af peter lind

Når der er taget et tal fra til det første ciffer er der jo 8 tilbage, så for det andet ciffer er der 8 muligheder. For det sidste ciffers vedkommende er der så 7 muligheder

Brugbart svar (1)

Svar #3
17. november 2024 af M2023

#0. Se eventuelt: https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2086248.

Svar #4
17. november 2024 af ca10

Tak for svarene

Jeg ser nærmere på dem

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
18. november 2024 af AMelev

Det afgørende er "Hvert ciffer må kun bruges én gang".

Svar #6
18. november 2024 af ca10

Til Svar #5 AMelev

Tak for svaret.

Men hvordan bestemmer man

1) udregningen af antal udfald ( 4 • 7 • 8 ) hvorfra kommer tallene 7 og 8?

I 2) udfaldsrummet ( 9 • 8 • 7 ), hvorfra kommer tallene 9 • 8 • 7?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #7
18. november 2024 af jl9

Det er uden tilbagelægning. Det er vist for 2) i eksempel 2 nederste halvdel.

I 1) er 8•7 magen til i opgave 2) og 4 kommer fra at opgaven stiller at første ciffer skal være 1,2,3 eller 4 (altså 4 muligheder).

Brugbart svar (1)

Svar #8
18. november 2024 af ringstedLC

#0
Jeg er godt klar at hvis tallet skal være mindre end 500 så skal det første ciffer f.eks være tallet 4, og der er iøvrigt fire ciffere at vælge imellem 1, 2, 3 eller 4. Og cifferet 4 lægges ikke tilbage, idet der er tale om udtagelse af ordnede delmængder uden tilbagelægning.

Eller snarere: Og det trukne ciffer lægges ikke tilbage. Men du har sikkert forstået 1. trin, hvor sandsynligheden for succes er:

$\begin{align*} \textup{Generelt}:p(H) &= \frac{\textup{Gunst.}}{\textup{Mulige}} \\ p(n_1\!\leq \textbf{4}) &= \frac{\textbf{4}}{{\color{Red}9}} &&,\;n_1\in\bigl\{1,2,3,...\,{\color{Red}9}\bigr\} \end{}$

I 1. trin kan kun trækkes fire gunstige ud af ni mulige tal.

Brugbart svar (1)

Svar #9
18. november 2024 af ringstedLC

#0

Så derefter kan man kun vælge vælge imellem cifferene 1, 2 eller 3.

Nej. For det første; man vælger ikke cifrene, de trækkes.

For det andet; derefter trækkes igen (2.- og 3. trin) af de resterende:

$\begin{align*} \textup{2.\,trin}:p(n_2) &= \frac{9-{\color{Red}1}}{9-{\color{Red}1}}=\frac{8}{8} &&,\;n_2\in\bigl\{1,2,3,...\,9\bigr\}\;\backslash\;\bigl\{{\color{Red}n_1}\bigr\} \\ \textup{3.\,trin}:p(n_3) &= \frac{9-{\color{Red}2}}{9-{\color{Red}2}}=\frac{7}{7} &&,\;n_3\in\bigl\{1,2,3,...\,9\bigr\}\;\backslash\;\bigl\{{\color{Red}n_1,n_2}\bigr\} \\\\ p(h) &= p(n_1\!\leq 4)\cdot p(n_2)\cdot p(n_3) \\p(h) &=\frac{4\cdot8\cdot7}{9\cdot8\cdot7}=\frac{4}{9} \end{}$

I 2.- og 3. trin reduceres antallet af både gunstige og mulige af de tidligere trukne. Til gengæld er sandsynligheden for succes "1" (100%), da ethvert trukkent tal er en gunstig.

Brugbart svar (1)

Svar #10
18. november 2024 af AMelev

#6 Du har cifrene 1-9, altså 9 valgmuligheder

I Eks. 2:
1. ciffer: 9 muligheder - frit valg
2. ciffer: 8 muligheder - frit valg, men du må ikke vælge det, der var 1. ciffer, så der er kun 8 muligheder tilbage
3. ciffer: 7 muligheder - frit valg, men du må hverken vælge det, der var 1. ciffer, eller det, der var 2. ciffer.

Tilsvarende i Eks. 3, men der er kun 4 muligheder for valg af 1. ciffer

Giver det ikke god mening?

Svar #11
19. november 2024 af ca10

Tak for svarene

Skriv et svar til: Kombinatorik, Udtagelse af ordnede delmængde uden tilbagelægning, Eksempel 3, Side 20, ( E. Skovbjerg og Å. Sørensen)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.