Matematik

Funktioner af to variable, Vejen til Matematik A2, Opgave 404, side 380, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

10. februar 2025 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 404.

En funktion er givet ved f ( x, y ) = e^(x² - ^y²)

a. Bestem de partielle afledede:

Mit forsøg:

Se evt det vedhæftede dokument med opgaveteksten og facit.

funktionen f ( x , y )= e^x² - ^y²er en sammensat funktion, hvor man bestemmer differentialkvotienten af den ydre funktion og derefter bestemmer differentialkvotienten af den indre funktion og danner produktet af de to differentialkvotienter.

ðz

----- = ( e^x² - ^y² )' = 2 • x • e^(x²^-y²)

ð x

ðz

---- = (e^x^{2 -} ^y² )' = - 2 • y • e^(x² - ^y²)

ðy

Det passer med facitlisten.

b. Vis at P ( 1, 1 ) ligger på grafen

Mit forsøg:

P ( 1, 1 ) indsætter jeg i f ( x, y ) = e^x² - ^y².

f ( 1, 1 ) = e^1² - ^1² = 1.

Det passer med facitlisten. Jeg tolker det sådan z₀ = 1.

c. Bestem en ligning for tangentplanen i p.

Mit forsøg:

På side 372 står der følgende:

"I teorien for funktioner af to variable kan man vise, at ligningen at ligningen for Tangentplanen i

z = f_x ( x - x₀ ) + f_y ( y - y₀ ) + z₀

hvor f_x og f_y er de partielle afledede."

Jeg går ud fra at z₀ = 1.

Spørgsmålet er om eksponenten x² og y² skal x opfattes som x₀ og y₀

For hvis man opfatter at punktet p ( 1, 1 ) er det samme som x₀ = 1 og y₀ = 1,

Så bliver ligningen for tangetplanen i P:

z = 2 • x • e^(1² - y²) - 2 • y • e^(1²- ^1²) + 1 = 2x - 2 y +1

Mit spørgsmål er, er min måde at løse opgave b i opgave 404 er det rigtigt gjort?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 404 og Facit.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. februar 2025 af AMelev

Sørg for at skrive rigtigt af! f ( x, y ) = e^(x² - y²) ( ^y² giver ikke mening)

Ad b) Punktet hedder (1,1,1)
Grafen består af punkterne (x,y,f(x,y), så P₁(1,1,f(1,1)) ligger på grafen. Du får helt korrekt (bortset fra forkert skrivemåde) f(1,1) = 1 og altså ligger P(1,1,1) på grafen.

ad c) z = fx ( x - x0 ) + fy ( y - y0 ) + z0 den er forkert skrevet
z = f '_x(x0,y0)·(x - x0) + f '_y?(x0,y0)·(y - y0), men tangentplanen er OK.

Prøv at undgå sjuskefejl - det vil lette dit arbejde.

Svar #2
10. februar 2025 af ca10

Tak for svaret

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. februar 2025 af ringstedLC

I følge webmatematik.dk kan de partielle afledede blandt andet noteres som:

$\begin{align*} f_x(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\,f(x,y) \\ f_y(x,y) &= \frac{\partial}{\partial y}\,f(x,y) \end{}$

men dog nok ikke som:

$\begin{align*} f'_{\,y}\,{\color{Red}?}\,(x,y) \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. februar 2025 af ringstedLC

I det todimensionelle k.-system ligger alle objekter i samme plan. Da denne plan har ligningen z = 0, har et punkt A på grafen for f(x) koordinaterne:

$\begin{align*} A=(x_0,y_0,z_0) &= (x_0,y_0) &,\;z_0&=0 \\&=\bigl(x_0,f(x_0)\bigr) &,\;y_0&=f(x_0) \end{}$

Ved funktioner med tre variabler; x, y og f(x,y) fås en tredimensionel (eller rumlig) graf.

Den tredje akse i koordinatsystemet benævnes gerne som z-aksen. Et punkt A på grafen på grafen for f(x,y) har koordinaterne:

$\begin{align*} A &= (x_0,y_0,z_0) &,\,z_0&\in\mathbb{R} \\ &=\bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr) &,\;z_0&=f(x_0,y_0) \end{}$

Bemærk: Hvis alle objekter har samme z-koordinat, kan de afbilledes i et todimensionelt k.-system ved blot at sætte z = 0 eller udelade den.

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. februar 2025 af ringstedLC

I et todimensionelt k.-system også kaldet i xy-planen, kan en tangent i et røringspunkt bestemmes entydigt, når blot funktionen er differentiabel i punktet.

I rummet har et røringspunkt for en graf uendeligt mange tangenter, da en tilfældig tangent altid vil kunne drejes omkring en bestemt akse og stadig være en tangent. Men alle disse tangenter ligger i samme plan. Derfor finder vi en tangentplan for en rumlig graf, mens vi kan "nøjes med" en tangent (-linje) for en todimensionel graf.

Bemærk ligheden mellem tangentens- og tangentplanens ligninger:

$\begin{align*} \textup{Tangent}:y &= f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0) \\ &= f'(x_0)\cdot(x-x_0)+y_0 \\ \textup{Tangentplan}:z &= f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)+f(x_0,y_0) \\ &= f_x(x_0,y_0)\cdot(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\cdot(y-y_0)+z_0 \end{}$

Svar #6
11. februar 2025 af ca10

Til Svar #3-5 ringstedLC

Tak for svarene

Jeg ser nærmere på dem

På forhånd tak

Svar #7
15. februar 2025 af ca10

I Vejen til Matematik A2 side 37:

"I teorien for funktioner af to variable kan man vise, at ligningen for tangentplanen i (x₀ , y₀ , z₀ ) er:

z = f_x ( x - x₀ ) + f_y ( y - y₀ ) + z₀

Hvor f_x og f_y er de partielle afledede i ( x₀ , y₀ )"

1) f_x = 2xe⁽⁽^x^{)^(2) - (y)^(2))}

2) f_y = -2xe^{((x)^(2) - (y)^(2))}

Så hvis jeg har forstået Svar #6 ringstedLC rigtig, hvor

Tangentplan : z = f_x ( x₀ , y₀ ) • ( x - x₀ ) + f_y ( x₀ , y₀) • ( y - y₀ ) + z₀

Mit spørgsmål er, hvordan skal man forstå P ( 1, 1, 1 ) og hvad er x₀ lig med og hvad er y₀ lig med?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #8
15. februar 2025 af ringstedLC

#7 Funktionens uafhængige variabler bør/skal noteres i de partielle afledede:

$\begin{align*} 1)\quad f_x{\color{Red}\bigl(x,y\bigr)} &= 2x\,e^{x^2\,-\,y^2} \\ 2)\quad f_y{\color{Red}\bigl(x,y\bigr)} &= -2y\,e^{x^2\,-\,y^2} \\\\ \textup{Tangent\,i\,} & (x_0,y_0,z_0): \\ z &= f_x\bigl(x_0,y_0\bigr)\cdot\bigl(x-x_0\bigr)+f_y\bigl(x_0,y_0\bigr)\cdot\bigl(y-y_0\bigr)+z_0 \\ \\ \textup{Tangent\,i\,}P &= \bigl(x_P,y_P,z_P\bigr)= ({\color{Red}1},{\color{Blue}1},{\color{DarkGreen}1}): \\ z &= f_x\bigl(x_P,y_P\bigr)\cdot\bigl(x-x_P\bigr)+f_y\bigl(x_P,y_P\bigr)\cdot\bigl(y-y_P\bigr)+z_P \\ &= f_x({\color{Red}1},{\color{Blue}1})\cdot (x-{\color{Red}1})+f_y({\color{Red}1},{\color{Blue}1})\cdot(y-{\color{Blue}1})+{\color{DarkGreen}1} \\ &= 2\cdot1\,e^{1^2\,-\,1^2}\cdot(x-1)-2\cdot1\,e^{1^2\,-\,1^2}\cdot(y-1)+1 \\ &= 2\cdot(x-1)-2\cdot(y-1)+1 \\ z &= 2\,x-2\,y+1 \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. februar 2025 af ringstedLC

#8 fortsat: ...ganske som ved tangentens ligning for:

$\begin{align*} f(x)=x^2\Rightarrow f'(x) &= 2\,x \\ \\ \textup{Tangent\,i\,} & (x_0,y_0): \\ y &= f'(x_0)\cdot\bigl(x-x_0\bigr)+f\bigl(x_0\bigr) \\ \\ \textup{Tangent\,i\,}P &= \bigl(x_P,y_P\bigr)= (1,1): \\ y &= f'\bigl(x_P\bigr)\cdot\bigl(x-x_P\bigr)+y_P \\ &= f'(1)\cdot (x-1)+1 \\ &= 2\cdot1\cdot(x-1)+1 \\ y &= 2\,x-1 \end{}$

Svar #10
16. februar 2025 af ca10

Til Svar #8-9, ringstedLC

Jeg kan godt se det nu, det burde jeg have vidst.

Tak for svarene

Brugbart svar (1)

Svar #11
16. februar 2025 af ringstedLC

#8 rettelse

$\begin{align*} 1)\quad f_x\bigl(x,y\bigr) &= 2x\,e^{x^2\,-\,y^2} \\ 2)\quad f_y\bigl(x,y\bigr) &= -2y\,e^{x^2\,-\,y^2} \\\\ \textup{Tangent{\color{Red}plan}}\,\textup{i\,} & (x_0,y_0,z_0): \\ z &= f_x\bigl(x_0,y_0\bigr)\cdot\bigl(x-x_0\bigr)+f_y\bigl(x_0,y_0\bigr)\cdot\bigl(y-y_0\bigr)+z_0 \\ \\ \textup{Tangent{\color{Red}plan}}\,\textup{i\,}P &= \bigl(x_P,y_P,z_P\bigr)= ({\color{Red}1},{\color{Blue}1},{\color{DarkGreen}1}): \\ z &= f_x\bigl(x_P,y_P\bigr)\cdot\bigl(x-x_P\bigr)+f_y\bigl(x_P,y_P\bigr)\cdot\bigl(y-y_P\bigr)+z_P \\ &= f_x({\color{Red}1},{\color{Blue}1})\cdot (x-{\color{Red}1})+f_y({\color{Red}1},{\color{Blue}1})\cdot(y-{\color{Blue}1})+{\color{DarkGreen}1} \\ &= 2\cdot1\,e^{1^2\,-\,1^2}\cdot(x-1)-2\cdot1\,e^{1^2\,-\,1^2}\cdot(y-1)+1 \\ &= 2\cdot(x-1)-2\cdot(y-1)+1 \\ z &= 2\,x-2\,y+1 \end{}$

Svar #12
16. februar 2025 af ca10

Til Svar #11 ringstedLC

Tak for svaret

Skriv et svar til: Funktioner af to variable, Vejen til Matematik A2, Opgave 404, side 380, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.