Matematik

Svært induktionsbevis

22. februar 2025 af theta2 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Godaften,

Jeg har forsøgt at løse denne opgave, men den volder problemer. Jeg kan løse den første del, dvs. vise at der findes polynomier, som opfylder den første ligning. Jeg har vist, at det gælder for n+1, når det gælder for n. Induktionsantagelsen er, at tanh^(n)(x)=Qn(tanh(x)). Så for n+1 gælder, at:

tanh^(n+1)(x)=tanh^(n)(x)'=Qn(tanh(x))'=Qn'(tanh(x))(1-tanh(x)^2)

Herfra har jeg bare argumenteret for, at det, der står på højresiden, er et polynomium af grad n+2, og det er klart, at det gælder for n=1, da tanh'(x)=1-tanh(x)^2.

Det viser sig at være noget sværere at vise ligningen (1). Hvordan løser jeg lige den? Jeg kan antage, at ligningen gælder for n, men jeg kan ikke rigtig opskrive Q(n+2)(x) svarende til det næste trin n+1.

Vedhæftet fil: opgave5.2.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. februar 2025 af peter lind

Hvis du sætter tanh(x) = y har du en sammensat funktion. Ifølge reglen forsammensat funktion gælder f(g(x))' = f'(g(x))*g(x)'

Benytter du det på Qⁿ(y)' får du det ønskede resultat umiddelbart

Svar #2
22. februar 2025 af theta2 (Slettet)

Jeg kan godt se, at det i så fald gælder, at:

Q(n+1)(y)=y^(n+1)=Q(n)(y)'=Q'n(y)y'=Q'n(y)(1-y^2)

Men så har jeg vel kun vist, at det gælder for y på intervallet [-1,1], da det er billedmængden for tanh(x). Eller er der noget, jeg overser?

Brugbart svar (0)

Svar #3
22. februar 2025 af peter lind

Det er for y = tanh(x) der gælder den begrænsning ikke for x

Svar #4
22. februar 2025 af theta2 (Slettet)

Kan du uddybe? Jeg kan simpelthen ikke se det.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. februar 2025 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #6
24. februar 2025 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textup{Med }y=\tanh(x)\\\\ y{\,}'(x)=\tanh{'}(x)=\frac{\cosh^2(x)-\sinh^2(x)}{\cosh^2(x)}=1-\tanh^2(x)=1-y^2 \end{}$

Svar #7
24. februar 2025 af theta2 (Slettet)

Jeg kan med jeres hints vise, at denne ligning gælder:

Q(n+1)(tanh(x))=Q'(n)(tanh(x))(1-tanh(x)^2)

Og det er klart, at denne ligning kun kan være opfyldt, hvis Q(n+1)(x)=Q'(n)(x)(1-x^2) for alle x på intervallet (-1,1).

Men hvordan kan jeg være sikker på, at ligningen medfører, at det gælder for alle reelle x?

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. februar 2025 af mathon

Her benyttes induktionbeviset.
Bevis for n = 1, 2 og 3

Hvis det antages at gælde for et tilfældigt valgt n større end 3
og det kan bevises, at det
også gælder for (n+1) er induktionsbeviset gennemført.

Brugbart svar (0)

Svar #9
24. februar 2025 af peter lind

y= tanh(x) Det gælder for alle x, Værdimængden for y er ]1; 1[

Qⁿ⁺¹tanh(x))=(Qⁿ)'y(1-y²) y ∈ ]1; 1[

Qⁿ⁺¹(tanh(x))=Q'(n)(tanh(x))(1-tanh(x)²) x∈ R

Brugbart svar (0)

Svar #10
25. februar 2025 af M2023

#5. Opgaven er uklar. Jeg går ud fra, at

$Q_{n+1}(x)=Q'_n(x) (1-x^2)$

skal forsås som

$Q_{n+1}(z(x))=Q'_n(z(x)) (1-z(x)^2)$

hvor Q(z) diffrentieres med hensyn til x...?!

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. februar 2025 af M2023

#10. Jeg tror, at det skal være:

$Q_{n+1}(x)=Q'_n(x) (1-x^2)$

skal forsås som

$Q_{n+1}(z(x))=\frac{Q_n(z(x))}{dz(x)} \cdot (1-z(x)^2)$

Jeg er ikke sikker på, hvorfor at man skal bruge induktion. Jeg får ved hjælp af kædereglen:

$Q_{n+1}(x) \overset{def}{=} \frac{dQ_n(z)}{dx}=\frac{dQ_n(z)}{dz}\cdot \frac{dz}{dx}=Q'_n(z)\cdot (1-z^2)$

Skriv et svar til: Svært induktionsbevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.