Matematik

Beregn areal af trekant med indskreven cirkel

10. april 2025 af angool - Niveau: A-niveau

Hej,

Jeg har rigtig svært ved at beregne/bevise delopgave B og C. I delopgave B skal man bevise, CPQ, BCP og BCQ er ensvinklede, hvor man kunne bruge r som argument fordi den er en katete i både trekant CPQ og BCQ og at de deler punkt C som en vinkel..

I delopgave C har jeg prøvet mig frem til, at man kan beregne vinkel C for trekant BCQ, fordi vi kender længden BC som hypotenuse og længden r er den hosliggende katete så via. cos v = hos/hypo kan man finde vinkel C. Dog er denne vinkel ikke ens med vinklen C i trekant CPQ? Hvordan fortsætter jeg herfra?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2025-04-10 kl. 20.31.45.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. april 2025 af ringstedLC

Brugbart svar (1)

Svar #2
10. april 2025 af ringstedLC

a) "R ligger modsat til den halverede vinkel,...". Du har allerede redegjort for at ABC = CBQ

$\begin{align*} 180^\circ &= \angle ACB+90^\circ+\angle ABC \\ &= \angle ACB+90^\circ+\angle CBQ \\ 180^\circ &= \angle BCQ+90^\circ+\angle CBQ &&\Rightarrow \angle ACB=\angle BCQ \\ BC^2 &= AB^2+r^2 \\ BC^2 &= BQ^2+r^2 &&\Rightarrow AB=BQ \end{}$

Kongruens kræver ens vinkler og længder.

Svar #3
10. april 2025 af angool

Okay på den måde... kan man argumentere for at vinkel B og C er ens i trekant BCQ og CPQ? hvordan fortsætter man her for at beregne arealet af trekant CPQ?

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. april 2025 af ringstedLC

b) Du kan ikke bruge r på den måde, da den er den korteste katete i den ene, den længste i den anden og højde i den tredje. Der er ligeledes tre forskellige vinkler ved C.

Du ved at:

$\begin{align*} \angle BQC=\angle CQP=\angle BCP &= 90^\circ \end{}$

Dernæst:

$\begin{align*} \angle BCQ+\angle PCQ &= \angle BCP \\ \angle PCQ &= 90^\circ-\angle BCQ \\ \angle BCQ+\angle CBQ &= 90^\circ \\ \angle CBQ &= 90^\circ-\angle BCQ &&\Rightarrow \angle PCQ=\angle CBQ \\\\ BQ\!\parallel\! BP \Rightarrow \angle CBQ &= \angle CBP &&\Rightarrow \angle PCQ=\angle CBQ=\angle CBP \end{}$

Når to sæt af vinklerne er ens, må det tredje sæt også være ens (igen pga. vinkelsummene).

Brugbart svar (1)

Svar #5
10. april 2025 af peter lind

´trekant BCQ og CQP er begge rette vinkel CPQ + vinkel BCQ = 90º, hvoraf følger at de tre trekanter er ensvinklede. Arealet af trekant BCQ højde*grundlinje, hvor du finder grundlinjen af pytagoras.

Tilsvarende sider i trekant CPQ finder du så af forholdet mellen siderne i ensvinklede trekanter er ens.

Brugbart svar (1)

Svar #6
10. april 2025 af ringstedLC

c) Med ensvinklingen på plads:

$\begin{align*} \frac{r}{BC} &= \frac{PQ}{r} \\ \frac{3}{\sqrt{90}} &= \frac{PQ}{3} &&\Rightarrow PQ=... \\ A=\tfrac{1}{2}PQ\,r &= \tfrac{3}{2}PQ &&\Rightarrow A=... \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
12. april 2025 af M2023

#0. Der gælder at to retvinklede trekanter, der har hypotenusen og den ene katete til fælles, er kongruente.

Dette er opfyldt her idet:

1) BC er hypotenuse i både ΔABC og ΔBCQ.

2) |AC| = |CQ| = r.

3) < BAC = < BQC = 90°.
Dette følger af, at A og Q er tangentpunkter (eller røringspunkter) for cirklen og den store trekant, og at
vinklen mellem en tangent og radius (i dens røringspunkt) er 90°.

Svar #8
12. april 2025 af angool

Tak for hjælpen!!

Brugbart svar (0)

Svar #9
12. april 2025 af M2023

#0. Angående b

Man kan godt finde vinklerne enkeltvis som i #4.

Der findes dog en sætning som siger, at højden i en retvinklet trekant fra hypotenusen til den rette vinkel deler trekanten i to mindre trekanter, der er ligedannede med den oprindelige. Her er CQ eller r den pågældende højde i ΔBCP. ("Vertex" betyder hjørne).

Angående c

#6 er desværre forkert. Her divideres kort katete med hypotenuse i den ene trekant og kort katete med lang katete i den anden. Man er nød til at bruge både Pythagoras og proportionalitet efter min mening.

Areal = (1/2)·r·|PQ|

Fra overnævnte sætning har man, at den førnævnte højde (radius) er mellemproportional til de stykker, som den deler hypotenusen i (PQ og BQ). Det giver:

r² = |PQ|·|QB| ⇒ |PQ| = r²/|BQ|

Pythagoras giver for |BQ|: |BQ| = √(|BC|² - r²)

Dette giver arealet:

$\tfrac{1}{2}\cdot r\cdot |PQ|=\tfrac{1}{2}\cdot r\cdot r^2/|BQ|= \tfrac{r^3}{2\sqrt{|BC|^2-r^2}} =\tfrac{3^3}{2\sqrt{\sqrt{90}^2-3^2}} =\tfrac{3}{2}$

(Jeg får det samme i Geogebra).

Brugbart svar (0)

Svar #10
13. april 2025 af ringstedLC

#6 UPS!

c) Med ensvinklingen på plads:

$\begin{align*} \frac{r}{{\color{Red}BQ}} &= \frac{PQ}{r} \\ \frac{3}{\sqrt{BC^2-r^2}} &= \frac{PQ}{3} &&\Rightarrow PQ=... \\ A=\tfrac{1}{2}PQ\,r &= \tfrac{3}{2}PQ &&\Rightarrow A=... \end{}$

Skriv et svar til: Beregn areal af trekant med indskreven cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.