Matematik

Lineær Algebra, Opgave 2.4.7 Afstanden fra punkt til plan, Side 46, ( Knut Sysætter og Bernt Øksendal)

05. maj 2025 af ca10 - Niveau: Universitet/Videregående

Opgave 2.4.7

Vis at afstanden fra P = ( x_{1 ,} y_{1 ,} z₁ ) til planet

Ax + By + cz - D = 0

er givet ved

| Ax₁+ By₁ + Cz₁ - D |

-----------------------------------------

√ A² + B² + C²

Mit spørgsmål er, hvordan viser man det, for det har jeg ikke noget bud på?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 2.4.7.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. maj 2025 af peter lind

Geometrisk er afstanden mellem et punkt og et plan afstanden mellem punktet og afstanden mellem punktet og den vinkelrette afstand til planen. Mere teknisk :

Du finder normalvektoren til planen. Derefter finder du ligningen for linjen gennem punktet og har normalvektoren som retningsvektor. Derefter finder du skæringspunktet mellem linjen og planen. Afstanden mellem dette skæringspunkt og det oprindelige punkt er den søgte afstand.

Svar #2
05. maj 2025 af ca10

Til Svar #1 peter lind

Jeg prøver.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #3
05. maj 2025 af mathon

Opgave 2.4.7

Vis at afstanden fra P = ( x_{1 ,} y_{1 ,} z₁ ) til planet

Ax + By + Cz - D = 0

er givet ved

| Ax₁+ By₁ + Cz₁ - D |

-----------------------------------------

√ A² + B² + C²

Mit spørgsmål er, hvordan viser man det, for det har jeg ikke noget bud på?

Svar #4
05. maj 2025 af ca10

Til Svar #3 mathon

Jeg ved ikke hvad dit svar består i?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #5
05. maj 2025 af mathon

P's afstand til planet
er den numeriske værdi
af AP's projektion på
planets normalenhedsvektor.

Er A's koordinater (x_o,y_o,z_o)
haves:
$\Large\begin{array}{llllll} \textup{dist}=&\left| \frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}\cdot \overrightarrow{AP}\right|\\\\&\frac{\left|\begin{pmatrix}A\\B\\C \end{}\cdot \begin{pmatrix}x_1-x_o\\y_1-y_o\\z_1-z_o \end{}\right| }{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\\\\& \frac{|A\cdot x_1+B\cdot y_1+C\cdot z_1\overset{ \;\;\;\;D}{-\overbrace {(A\cdot x_o+B\cdot y_o+C\cdot z_o)}}|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\\\\& \frac{|A\cdot x_1+B\cdot y_1+C\cdot z_1-D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \end{}$

Svar #6
06. maj 2025 af ca10

Til Svar #5 mathon

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #7
06. maj 2025 af mathon

Tilbage står at eftervise;
at D er den samme værdi
i afstandsformlen som i
planens ligning.

Når Q(x,y,z) er et vilkårligt
punkt i planen og en normalvektor
for planen er n = <A,B,C>
og A(x_o,y_o,z_o) er samme punkt
som ovenfor
haves for planen:

$\begin{array}{lllllll} \textup{Planligning:}\\&&\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{AQ}=0\\\\&& \begin{pmatrix}A\\B\\C \end{}\cdot \begin{pmatrix}x-x_o\\y-y_o\\z-z_o \end{}=0\\\\&&A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z-(A\cdot x_o+B\cdot y_o+C\cdot z_o)\\\\&&A\cdot x+B\cdot y+C\cdot z-D \end{}$

altså selvsamme D-værdi.

Brugbart svar (1)

Svar #8
06. maj 2025 af mathon

Det skal lige præciseres, at A(x_o,y_o,z_o) er et fikspunkt i planen.

Svar #9
06. maj 2025 af ca10

Til Svar #7 og #8 mathon

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Skriv et svar til: Lineær Algebra, Opgave 2.4.7 Afstanden fra punkt til plan, Side 46, ( Knut Sysætter og Bernt Øksendal)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.