Matematik

Bestem tangenter til grafen, der går gennem punktet (2,-3)

27. august 2025 af himmelgræsker - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg har fået de her opgaver:

Opgave 1

Funktionen er givet ved f(x)=1/4x^2
Bestem tangenter til grafen, der går gennem punktet (2, − 3)

Opgave 2

Funktionen f er givet ved forskriften

f(x) = 5x/(2+x)^3

Brug dit CAS-værktøj til at bestemme ligningen for tangenten til grafen for f i punktet (-3,f(-3)).

Opgave 3:

Funktionen, f , er givet ved forskriften

f(x) = 1/2x^2

Bestem ligningerne for de to tangenter, der går gennem punktet (1,-4).

Mit største problem er at forstå, hvad de mener, og hvad forskellen er mellem dem. Min lære har prøvet at forklare det, men forstår simpelthen ikke hvornår det er et punkt på grafen, uden for grafen, eller et punkt på tangenten.Ud fra det tror jeg godt jeg kan komme frem til en udregning ud fra tangentens ligning (forhåbenligt!) :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. august 2025 af ringstedLC

#0
Mit største problem er at forstå, hvad de mener, og hvad forskellen er mellem dem. Min lære har prøvet at forklare det, men forstår simpelthen ikke hvornår det er et punkt på grafen, uden for grafen, eller et punkt på tangenten.Ud fra det tror jeg godt jeg kan komme frem til en udregning ud fra tangentens ligning (forhåbenligt!) :)

Det må altid være et punkt på tangenten, ellers skal der være yderligere oplysninger for at du kan komme videre:

$\begin{align*}f(x) &= \tfrac{1}{4}\,x^2 \\ f(2) &= \tfrac{1}{4}\cdot2^2=1\;{\color{Red}\neq}-3 \end{}$

Det vil sige at punktet (2, -3) ikke ligger på grafen.

Alternativt: "Bestem tangenter til...". Da et punkt på grafen ikke kan have flere tangenter, må punktet ligge "udenfor" denne for at flere tangenter til grafen gennemløber det.

I opgave 2 er punktet givet ved (-3, f(-3)). Da punktets y-værdi er givet ved funktionsværdien af x-værdien må punktet ligge på grafen.

Alternativt: "for tangenten til...". Med kun én tangent må punktet ligge på grafen.

Lav en skitse, find ligningerne, tegn tangenterne for kontrol og spørg gerne igen.

Brugbart svar (1)

Svar #2
28. august 2025 af mathon

Opgave 1
   Her indfører vi:
   Hvis et punkt
   ligger på grafen noteres det (x_o,y_o)
Hvis et punkt
ikke ligger på grafen noteres det (x,y)

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. august 2025 af mathon

Du har så tangentligningen:
$y=f{\,}'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)$
hvilket i denne opgave
vil sige:
$y=\tfrac{1}{2}\cdot x_o\cdot (x-x_o)+\tfrac{1}{4}{x_o}^2$

$y=\tfrac{1}{2}\cdot x_o\cdot x-\tfrac{1}{2}{x_o}^2+\tfrac{1}{4}{x_o}^2$

$y=\tfrac{1}{2}\cdot x_o\cdot x-\tfrac{1}{4}{x_o}^2$

gennem (2,-3):
$-3=\tfrac{1}{2}\cdot x_o\cdot 2-\tfrac{1}{4}{x_o}^2$

$\tfrac{1}{4}{x_o}^2-x_o-3=0$
hvoraf
$x_o=\left\{\begin{matrix}-2\\6 \end{}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. august 2025 af mathon

som indsat i tangentligningen

$y=\tfrac{1}{2}\cdot x_o\cdot x-\tfrac{1}{4}{x_o}^2$

for x_o = -2 giver
tangenten:
$y=-x-1$

for x_o = 6 giver
tangenten:
   $y=3x-9$

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. august 2025 af mathon

Brug samme fremgangsmåde i opgave 3.

Brugbart svar (1)

Svar #6
28. august 2025 af M2023

#0. Opgave 3 tegnet med Geogebra. (Løst på øjemål).

Vedhæftet fil:tangenter.png

Brugbart svar (1)

Svar #7
28. august 2025 af mathon

kontrol på øjemålet i #6

$\begin{array}{llllll} f(x_o)=\tfrac{1}{2}\cdot {x_o}^2\\\\ f{\,}'(x_o)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot {x_o}^{2-1}=x_o \end{}$

Du har så tangentligningen:
$\begin{array}{llllll} y=f{\,}'(x_o)\cdot (x-x_o)+f(x_o)\\\\ y=x_o\cdot (x-x_o)+\frac{1}{2}\cdot {x_o}^2\\\\ y=x_o\cdot x-{x_o}^2+\frac{1}{2}\cdot {x_o}^2\\\\\\ y=x_o\cdot x-\frac{1}{2}\cdot {x_o}^2 \end{}$

gennem (1,-4)

$\begin{array}{llllll} -4=x_o\cdot 1-\frac{1}{2}{x_o}^2\\\\ \frac{1}{2}{x_o}^2-x_o-4=0\\\\ x_o=\left\{\begin{matrix}-2\\4 \end{}\right. \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. august 2025 af mathon

som indsat i tangentligningen

$y= x_o\cdot x-\tfrac{1}{2}{x_o}^2$

for x_o = -2 giver
tangenten:
$y=-2x-2$

for x_o = 4 giver
tangenten:
$y=4x-8$

Brugbart svar (0)

Svar #9
29. august 2025 af mathon

Opgave 2
med TI-nspire

$f(x):=\frac{5x}{(x+2)^3}\qquad x\neq -2$

tangentligning i (-3,f(-3))
$y=\textup{tangentLine(f(x),x,-3)}$

Svar #10
09. september 2025 af himmelgræsker

Unskylder meget for jeg ikke har fået svaret. At starte op på et studie efter en pause er mere stressende end jeg regnede med.. og de der mails der skulle komme når der kommer svar på mit indlæg virker åbenbart ikke.

men mange tak for alt hjælpen alle sammen, det giver meget mere mening nu :))

Brugbart svar (0)

Svar #11
09. september 2025 af ringstedLC

Godt at høre!

NB. Måske har du ikke sat flueben ved "Send mig en mail..."

Skriv et svar til: Bestem tangenter til grafen, der går gennem punktet (2,-3)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.