Matematik

Sætning 1: Flere stamfunktioner til en funktion

13. september 2025 af Zephyrine - Niveau: B-niveau

Hvis F(x) er en stamfunktion til f(x) , så er alle funktioner af typen F(x)+k , hvor k er en konstant, også stamfunktioner til f(x) .

Jeg er dog ikke helt sikker på, hvad F(x) betyder i praksis i sætningen.

Er F(x) i en vilkårlig stamfunktion til f(x), f.eks. $F(x)=x^2+5$ ?
Og betyder udtrykket $F(x) +k$ så i dette tilfælde, at det bliver $F(x) +k = x^2 + 5 + k$ ?

Tak på forhånd.

Svar #1
13. september 2025 af Zephyrine

Brugbart svar (1)

Svar #2
13. september 2025 af ringstedLC

1. Vi noterer normalt stamfunktionen til en funktion f som F.

Funktionens lille "f" bliver altså til stort "F" for de tilhørende stamfunktioner.

Svar #3
13. september 2025 af Zephyrine

Okay, jeg prøver at præcisere mit spørgsmål:
1. Er F(x) en vilkårlig bestemt stamfunktion (med en fast konstant)

2. eller er F(x) den “grundform”, som alle stamfunktioner har tilfælles uden integrationskonstanten?

F.eks. Lad f(x) = 2x, så ifølge punkt 1 er F(x)=x^2+5, og derfor er F(x)+k = x^2+5+k.

Eller ifølge punkt 2 er F(x) = x^2, og derfor er F(x) + k = x^2+k?

Brugbart svar (1)

Svar #4
13. september 2025 af SuneChr

Lad F₀ være en vilkårlig stamfunktion til f .
Der gælder da: F₀' = f .
Lad endvidere F₁ = F₀ + c være en anden (vilkårlig) stamfunktion til f hvor c ∈ R
Der gælder da: F₁' = (F₀ + c)' = F₀' + c' = F₀' + 0 = F₀' = f

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. september 2025 af mathon

Er F(x) er en vilkårlig stamfunktion til f(x)

$F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x+k, \textup{ hvor k er en vilk\aa rlig reel konstant}$

f. eks.

$F(x)=\int 2x \,\mathrm{d}x+k= x^2+k, \textup{ hvor k er en vilk\aa rlig reel konstant}$

specifikt

$F(x)=\int 2x \,\mathrm{d}x+5= x^2+5$

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. september 2025 af ringstedLC

2. En stamfunktion skal altid opfylde:

$\begin{align*} F(x) &= \int{\!f(x)\,\mathrm{d} x} \;,\; F'(x)=f(x) \end{}$

Læg især mærke til betingelsen, der bla. betyder, at følgende funktioner (og uendeligt mange andre) er stamfunktioner til den samme funktion:

$\begin{align*} F_n(x) &=x^2+k &\Rightarrow {F_n}'(x) &= \bigl(x^2+k\big)'=f_n(x) \;,\;k\in \mathbb {R} \\ F_1(x) &=x^2+5 &\Rightarrow {F_1}'(x) &= \bigl(x^2+5\big)' \\ && &= \bigl(x^2\big)'+0' \\ && f_1(x) &= {\color{Red}2x} \\\\ F_2(x) &=x^2-17 &\Rightarrow {F_2}'(x) &= \bigl(x^2-17\big)' \\ && &= \bigl(x^2\big)'-0' \\ && f_2(x) &= {\color{Red}2x} \\\\ F_3(x) &=x^2 &\Rightarrow {F_3}'(x) &= \bigl(x^2\big)' \\ && &= \bigl(x^2\big)' \\ && f_3(x) &= {\color{Red}2x} \end{}$

Integrationskonstanten k "opstår" fordi en differentieret konstant giver "0".

Brugbart svar (1)

Svar #7
13. september 2025 af mathon

$k$ kan opfattes:
$k=k\cdot 1=k\cdot x^0$

og dermed:
$k{\,}'=(k\cdot x^0)'=k\cdot 0\cdot x^{0-1}=0$

Brugbart svar (1)

Svar #8
13. september 2025 af ringstedLC

#3
Okay, jeg prøver at præcisere mit spørgsmål:
1. Er F(x) en vilkårlig bestemt stamfunktion (med en fast konstant)

2. eller er F(x) den “grundform”, som alle stamfunktioner har tilfælles uden integrationskonstanten?

F.eks. Lad f(x) = 2x, så ifølge punkt 1 er F(x)=x^2+5, og derfor er F(x)+k = x^2+5+k.

Eller ifølge punkt 2 er F(x) = x^2, og derfor er F(x) + k = x^2+k?

1. Nej, da konstanten netop ikke er "fast", men kan være alle værdier.

2. Man kan ikke beregne k uden yderligere oplysninger, derfor:

$\begin{align*} f(x) &= 2x &\Rightarrow F(x) &= \int{\!2x}\,\mathrm{d}x \\ &&F(x) &= 2\cdot\tfrac{1}{2}\,x^{1\,+\,1}+k\;,\;k\in \mathbb R \\ &&F(x) &= x^{2}+k \end{}$

Men hvis det fx oplyses, at grafen for F gennemløber punktet P:

$\begin{align*} P:(1,6)\Rightarrow F(1)=6 &= 1^{2}+k \\k &= 5 \\ F(x) &= x^2+5 \end{}$

kan den uendelige mængde af stamfunktioner til f reduceres til én bestemt funktion.

Brugbart svar (1)

Svar #9
13. september 2025 af Eksperimentalfysikeren

F(x) er en vilkårlig stamfunktion til f(x).

Hvis f(x) = 3x²+4x, så kan F(x) være x³+ 2x² +5, men den kan også være x³ +2x²-7. I begge tilfælde kan man finde de andre stamfunktioner ved at addere en konstant. Man kan f.eks. få x³+2x²+ 2 ved at addere -3 i første tilfælde og +9 i andet tilfælde.

For at finde alle stamfunktionerne til f(x) finder man først den man nemmest kan finde og så har man alle de andre ved at addere et konstant tal. I mange tilfælde vil man så skulle finde den konstant, der giver en stamfunktion, der opfylder et ekstra krav, f.eks. at den går gennem et givet punkt.

Brugbart svar (1)

Svar #10
13. september 2025 af peter lind

Du kan også mere grafisk på det.

Har du en stamfunktion til f(x), som er F(x). Flytter du F(x) et stykke op eller ned svarer det tilat addere en konstant. Hvad sker der med hældningen. Den er nøjagtig det samme som før. Er den et sted 45º er den stadig 45º.

Brugbart svar (1)

Svar #11
13. september 2025 af ringstedLC

Tre stamfunktioner til funktionen i #3:

Vedhæftet fil:_0.png

Skriv et svar til: Sætning 1: Flere stamfunktioner til en funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.