Binomialfordeling og konfidensinterval, Vejen til Matematik B2, Opgave 174, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Opgave 174. I en kommune overvejer man at anlægge en cykelsti, men vil gerne kende andelen p af borgere, der ønsker stien. Derfor spørger man 250 tilfældigt udvalgte borgere. Ud af de 250 svarer 150 ja, resten nej.

a) Hvilke krav skal være opfyldt, for at man kan betragte antallet af ja-borgere som binomialfordelt?

Mit forsøg:

For det første: I bogen står der "Der foreligger et eksperiment med netop to mulige udfald: Succe eller ikke succes." Der skal være to mulige succes eller ikke succes. Borgerne kan enten svare ja eller nej til at der skal anlægges en cykelsti. Da kommunen overvejer at anlægge en cykelsti så må succesen vel være at der er et flertal af borgere der svare ja til at der anlægges en cykelsti.

For det andet: I bogen står der "sandsynligheden p for succes er konstant" (side 200).Kravet må så være at sandsynligheden p for succes ikke ændre sig.

For det tredje: I bogen står der "De enkelte udførelser af eksperimentet er uafhængige af hinanden". Det må betyder at hver gang man spørger en borgere er enborgers svar uafhængig hvad der en anden borgere har svaret.

I bogen er der ikke noget facit eller svar på a)

b) Beregn stikprøveandelen 

Mit forsøg:

antal borgere der bliver spurgt n = 250

antal borger der svare ja x =150.

I bogen side 202 beregnes stikprøveandelen p = x / n

således at stikprøveandelen p  =  x / n = 150 / 250 = 3/ 5 = 0,6.

Det samme som bogens facit.

c) Beregn et 95 % konfidensinterval p.

Mit forsøg: I bogen på side 203 står der følgende:

Defition 12.1: Konfidensinterval for andel.

Et konfidensinterval for andelen p i en binomialfordeling er et symmetrisk interval omkring en stikprøveandel p med en vis sandsynlighed (gx. 95 %) ligger i. Sandynligheden kaldes sikkerhedsniveauet eller konfidensniveauet. 

Intervallet beregnes således [p - k , p + k ]

k på konfidensniveauet 0,95 er givet ved formlen:

                           k = 1.96 • √ (1 - p ) /  n =  1,96 • √ ( 0,6 ( 1 - 0,6 ) / 250 ) = 0,0607

Konfidensintervallet beregnes således:

[p - k , p + k ] = [ 0,6 - 0,0607 , 0,6 + 0,0607 ] = [ 0,5392 , 0,66072 ] = [ 0,539 , 0,661 ].

Det samme som facitlisten.

d) Kommenter resultatet.

Mit forsøg: Konfidensniveauet på 95 % må betyde at mellem 53,9 % og 66,1 % af borgerne ville svare ja til at kommunen skal anlægge en cykelsti.

Der er ikke noget svar i facitlisten til d). 

Mit spørgsmål er, selv om jeg er kommet frem samme resultat som i facitlisten er min løsning på a) , b) og c) korrekte og har jeg kommenteret resultatet i d) korrekt.?

På forhånd tak