Rekursionsligning for tilbagebetaling af lån

Vedhæftet screenshot:

Der efterlyses formodentlig en rekursion, som under lånets afviklingsforløb
viser den til enhver tid stående restgæld.
5000000 skal føres én termin frem, hvorpå restgælden er  5000000·1,03 - 250000  umiddelbart efter
det første afdrag. Når næstsidste restgæld føres én termin frem, hvorpå den bliver mindre end 250000,
afdrages beløbet, og gælden er således afviklet.

Tak for hjælpen :)

Vi får da
     x_{n + 1} = 1,03·x_n - 250000          hvor n = 0, 1, ...   og   x₀ = 5000000

I det vedhæftede lader du afdragene forrente med 3% p.a. Den går ik'.
 

#0

Jeg har forsøgt på at løse den, men jeg ved ikke om jeg har gjort det rigtigt. 
Håber nogen kan bekræfte om det er rigtigt eller forkert. 

Da din ligning; x_n = 250.000 · 1,03 kan reduceres til x_n = 257.500 , altså en konstant, og ikke indeholder "startværdien" 5.000.000 (som er hovedstolen af annuitetslånet. Se formel (6), STX A) er den formentlig ikke rigtig.

Din argumentation/fremgangsmåde halter:

"Rekursionsligningen der vil passe ind her ...".

Når x_n = b · rⁿ er den generelle løsning til rekursionsligningen x_n = r · x_n-1, skal dit resultat vel se ud som ligningen, - og ikke som løsningen til denne.

Det er dog ikke renteformlen K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ , men formlen for gældsannuitet, der skal være "kernen" i rekursionsligningen.

Endelig:

"... og da vi har med renter at gøre, så skal vi lægge 1 til den, så det bliver til: rⁿ = 1 + 0.03 = 1.03 " er ikke rigtigt. Det er derimod rⁿ = 0.03ⁿ og 1 + r = 1 + 0.03 = 1.03

Det er værd at bemærke, at rekursionen og gældsformlen kun udtrykker den samme restgæld,
når denne er enten lånets størrelse eller 0.
Rekursionen udtrykker til enhver tid, i gældens afviklingsforløb, den nedskrevne restgæld, medens
gældsformlen ikke viser restgælden undervejs, men er brugbar, når tre af de fire indgående
variable er kendte.
Gældsformlen er i øvrigt let at udlede ved benyttelse af formlen for summen af en kvotientrække.