Matematik

Længde af linjestykke i geometrisk konstruktion

01. april kl. 18:13 af sommernætter - Niveau: C-niveau

Jeg har givet følgende konstruktion (se vedhæftet billede) og skal bestemme længden af FG.

Mine tanker omkring en løsning involverer ensvinklede trekanter og målforhold, men efter lang tids forsøg med forskellige trekanter, sidder jeg fast.

Bl.a. gælder, at trekant BCD er ensvinklet med trekant BFG og trekant CEG er ensvinklet med trekant BFG.

Ved at se på BCD og BFG fås:

$\frac{CD}{FG}=\frac{BC}{BG}\Leftrightarrow FG=CD\frac{BG}{BC}=90\frac{BG}{BC}$

Og ved CEG og BFG fås:

$\frac{FG}{CE}=\frac{BF}{EG}\Leftrightarrow FG=CE\frac{BF}{EG}=30\frac{BF}{EG}$

Jeg kan dog ikke se, hvordan jeg skal kunne finde hverken BG, BC eller EG. Jeg formoder, jeg ville kunne finde dem fra andre ensvinklede trekanter. Jeg har prøvet, at se på de ensvinklede trekanter ABF og DEF. Men jeg kommer frem til BF = 3/2*DF, og kan ikke finde et udtryk for DF, der kan reducere et af udtrykkene for FG.

Vedhæftet fil: b7b4277196.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
01. april kl. 21:32 af SuneChr

Lægger vi et koordinatsystem med (0 , 0) i B, får vi ligningerne for de to linjer gennem BD og AE
BD: y = 90x/|BC| AE: y = - 60x/|BC| + 90
Løser vi dem, ser vi, at |BG| = ³/₅|BC|
Så kom vi så langt.
Indsættes x = |BG| i en af ligningerne, får vi |FG| .

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. april kl. 22:18 af ringstedLC

Brugbart svar (1)

Svar #3
01. april kl. 22:18 af ringstedLC

#0
... og trekant CEG er ensvinklet med trekant BFG.

Det er ikke korrekt, men du er ellers meget tæt på...

$\begin{align*} \frac{BF}{BF+DF}=\frac{FG}{CD} \Rightarrow \frac{BF+DF}{BF} &= \frac{CD}{FG} \\ \frac{BF}{BF}+\frac{DF}{BF} &= \frac{CD}{FG} \\ FG &= \frac{CD}{1+\frac{DF}{BF}} &&,\;\tfrac{DF}{BF}=\tfrac{2}{3} \end{}$

Svar #4
02. april kl. 04:54 af sommernætter

Tak for begge løsningsmetoder. Det giver god mening for #1 at benytte siderne BG og BC og for #3 at benytte siderne BF og DF.

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. april kl. 10:07 af PeterValberg

Se eventuelt vedhæftede

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Vedhæftet fil:Bestem længden af FG.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. april kl. 21:52 af ringstedLC

#4 Det var godt!

Bemærk at konstruktionens bredde ikke har betydning for længden af FG, da forholdene bevares.

Vedhæftet fil:C_M_033 - Skæring af to udspændte_2099992_sommernætter.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. april kl. 21:53 af ringstedLC

#5 fortsat:

Det er altså muligt at beregne højden over fx et vandløb ved at placere en stok på hver side og så blot måle højden af E, i stedet for at gå ud i vandet. AE og BD kunne så være snorer trukket igennem en ring på enden af stangen FG.

Hvis så et legeme ophængt i G skulle hænge i en bestemt højde, kunne det være praktisk med en formel for længden af CE udtrykt ved FG.

Prøv at komme med et bud på formlen...

og God Påske til Alle!

Svar #8
03. april kl. 04:32 af sommernætter

Hvis en formel skal kunne beregne længden af CE udtrykt ved FG, så vil DE være ubekendt, og kan ikke bruges til at bestemme et målforhold mellem ABF og DEF, som før. Derimod er AB og FG kendt. Og der gælder

$\frac{FE}{AE}\neq \frac{FG}{AB}$

Så jeg kan ikke se, hvordan man skulle kunne bestemme sådan en formel.

Brugbart svar (0)

Svar #9
03. april kl. 15:18 af ringstedLC

Den "nye" opgave.

Ensvinklingerne og deraf forholdene er bevarede. Forskellen er blot at et andet mål er kendt.:

$\begin{align*} \textup{Fra \#3 haves}:\\ \frac{BF}{BF}+\frac{DF}{BF}=\frac{CD}{FG} \qquad&\Rightarrow &\frac{DF}{BF} &= \frac{AB}{FG_0}-1 &&,\;CD=AB \\ \textup{og}:\\\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BF} \qquad&\Rightarrow &\frac{CD-CE}{AB} &= \frac{DF}{BF} \\\\ \qquad&\Rightarrow &\frac{AB-CE}{AB} &= \frac{AB}{FG_0}-1 \\ && CE &= (...) &&,\;\tfrac{AB}{2} \leq FG_0 \leq AB \end{}$

Husk: Formlen kan testes med FG₀ = 54

Vedhæftet fil:ScreenShot_20260403114526.png

Brugbart svar (0)

Svar #10
03. april kl. 16:59 af SuneChr

x = |AB|·(2 - |AB|/|FG₀|)

Også en (fortsat) god påske til brugerne.

Skriv et svar til: Længde af linjestykke i geometrisk konstruktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.