løsning af 2. ordens diff.lign.

x(t) = A*sin(ω*t + φ) + c

sludder A er ikke nødvendigvis 1 =)

af x(0) = 0 , kan du antage at c og φ er 0 vel.:s

x'(t) = A/ω * cos(ωt)

x'(0) = A/ω = ω => A = ω²

x(t) = ω²sin(ωt)

vil jeg mene :)

A/w=w?? Det giver ingen mening. Hvor får du A/w fra?

At x(0)= 0 betyder blot, at der ikke er nogen faseforskydning, hvorfor

x(t)=A*sin(w*t)

#2 - at x(0) = 0  betyder at der ikke er nogen faseforskydning HVIS c = 0.

og ja beklager, det skulle være A*w = w

x'(0) = A*w * cos(w*0) = w => A*w = w => A = 1 ,

x(t) = sin(wt)

#3

Hvis x(0)= 0 er c=0! :)

Så løsningen er

x(t)=sin(w*t)

i stedet for

x(t)=A*sin(w*t)
 

x'(0) = A*w * cos(w*0) = w. Jeg går ud fra, at du får dette fra begyndelsesbetingelserne, for så giver det mening?

men normalt gælder

x'(0) = A*w * cos(w*0) = w*A

#5 -

cos(0) = 1 , så din sidste linje er et selvfølge, ikke en regel som sådan. Men ja det er fra begyndelses betingelsen.

#4 -

Betragt funktionen

x(t) = A*sin(w*t+p) + c 

x(0) = A*sin(p) + c

hvis x(0) = 0 , antag at p og c er forskellige fra 0 et øjeblik..

c = -A*sin(p)  og  p = asin(-c/A)

Så differentialligningen kan vel stadig tilfredsstilles for værdier af p og c forskellige fra 0?

Se:

HVad er så løsningen? Hvad skal jeg skrive?

Hvordan får du

x'(0) = A*w * cos(w*0) = w ??
 

er det fra begyndelses betingelsen? A*w=w giver jo ikke mening

Glem det jeg skrev i # 9

#9 - det har jeg allerede svaret dig på. ja! det er begyndelses betingelsen.

x'(0) = w

x'(t) = w*A*cos(w*t)

x'(0) = w*A*cos(0) = w*A

en fuldstændige løsning til

                  x ''(t) = -ω²·x(t)
kan udtrykkes

                  x(t) = A·sin(ω·t+φ)
hvoraf
                 1)  x_o = A·sin(φ)

                 v = dx(t)/dt = ωA·cos(ω·t+φ)
hvoraf
                 v_o = ωA·cos(φ)
                 2)    v_o / ω = A·cos(φ)
 

ved division at 1) med 2)
fås
                tan(φ) = ω·x_o / v_o

                φ = tan^-1(ω·x_o / v_o)

nu kan
A beregnes af begyndelsesbetingelserne
       
                A = x_o/sin(φ)

                            x_o = 0           er udelukket, da det svingende systems begyndelsesenergi da er lig med 0

                                                                     E_mek = (1/2)·k·x_o² 

                            hvorfor svingningen aldrig kommer i gang

Hey Mathon. Hvis begyndelsesbetingelsen er ved t=0 da x=0, da er den fuldstændige løsning vel

x(t)=A*sin(w*t)

uden phi

    nej

I min bog står der

x₀=0

så phi skal altså ikke medtages. Jeg har altså ret her

E_mek er vel givet ved

E_mek=1/2*k*x²+1/2*m*v²

.

Hvad siger du NejTilSvampe?

Jeg har skrevet, at den fuldstændige løsning er

x(t)=sin(w*t), da A=1

den er vel egentlig god nok nu jeg tænker mig om.. Jeg lægger en ekstra konstant c til, men den går ikke, for så er det ikke længere en løsning til differentialligningen, og det er der den knækker.

Så hvis c = 0 (og det er den), så er phi = 0 hvis x(0) = 0

så svaret er  x = A*sin(wt)  og  x'(0) = w => A = 1

x = sin(wt)