(Problemspørgsmål) i Matematik.

Antal mulige måder, 3 ænder kan vælges på, er  K ( 54 ; 3 )

Antal, gunstige, måder, 3 gule ænder kan vælges på, er  K ( 7 ; 3 )

Sandsynligheden for "Frit valg på alle hylder" er derfor:     K ( 7 ; 3 ) / K ( 54 ; 3 )

Formlen, til at udregne K ( n , p ) med:

K ( n ; p )  =  ( n ! ) / ( ( p ! ) ·  ( n - p ) ! )     hvor            n !  =  1· 2· 3 ·4·  ....·  n

Det skulle blive, efter udregning:  35 / 24804

I må gerne svare?

 * 7 ænder med gul farve

* 9 ænder med hvid farve:

* 19 ænder med rød farve

* 19 ænder med blå farve

Følgende måder du kan trække 3 ænder på er: 

først finder vi det samlede antal ænder 7+9+19+19=54

For at finde antal måder disse ænder kan sættes sammen på, må vi lave et såkaldt "tælletræ", men da det er lidt svært at tegne 54*53*52 grene, vil jeg forslå at vi blot ganger tallene, dvs. 54*53*52=148824 måder.

Problemet er, at det ikke har en betydning for det samlede resultat om du trækker den ene eller anden gule and. Det kalder man at rækkefølgen ikke har betydning. Reglen siger at man skal dividere med fakulteten(!) af antallet af positioner. Der er 3 positioner, da vi skal fange 3 ænder. Fakultet er at man tager tallet og gange med alle tal ned til og med én. Dvs. 3*2*1.

Godt så vi dividerer 148824 med 3!(6)                   148824/6=24804.

Man kan altså sætte ænderne sammen på 24804 forskellige måder.

I midlertid har vi regnet med at det ikke er lige meget om man har nr 3 eller 4 gule and, eller en (anden farve for den sags skyld)

Vi gør derfor som følger. 

Sandsynligheden for at trække en gul and i første forsøg er 7/54. I andet forsøg er det 6/53 da der nu er fjernet en and fra begge steder. Tredje forsøg må da være 5/52.

Nu skal vi have ganget de chancer med hinanden.

(54/7)*(53/6)*(52/5), det giver cirka 708,69

Det er derfor 1 ud af 709 gange man trøkker 3 gule ænder.

Man kan også gøre som SECC gjorde, jeg vil blot vælge at forklare det på niende klasses niveau (I stedet for proffesor :D, Kaisdj har tydeligvis ingenting fattet)

Antal måder man kan trække 3 ænder på er K (54 ; 3) = 54*53*52 = 148824

Antal måder man kan trække 3 gule ænder er K ( 7 ; 3 ) = 7*6*5 = 210

Sandsynligheden er derfor K (7 ; 3) / K ( 54 ; 3 ) = 54*53*52 / 7*6*5 = 709

Han giver imidlertid endnu en måde at regne det på

Her bruger han en lidt mere avanceret formel

Formlen, til at udregne K ( n, p ) med:

K (n ; p ) = (n!) / ((p) * (n - p)!)

n er det antal ænder der er dvs for ænderne 54 og for de gule 7. p er antallet af positioner, dvs 3. 

SECC bruger formlen  og siger derfor

((7*6*5*4*3*2*1 )/((3*2*1)* ( 4*3*2*1)))

han gør det samme med 54, men i stedet for 7 bruger han 54 som n.

! er fakultet tegnet

Svaret er derfor cirka 1/709 eller som SECC skriver det mere præcist 35 / 24804

Det er normalt imod mine principper at forære svaret væk, men du virker som om du har brug for lidt basis forståelse. Jeg gav derfor en form for "ALL ROUND"

Jeg håber du kunne forstå bare lidt af mit, eller måske det hele. Jeg forsøgte ihvertfald at gøre mig lidt forståelig :) 

Mvh.

Mongomaniac

Lad os finde ud af, hvordan omsætningen, i kr, i fiskedammen løber rundt:

Frit valg på alle hylder  =  35 muligheder

1 præmie    K ( 9 ; 3 )    =  84 muligheder

Chance for gevinst  = ( 35 + 84 ) /  24804  =  ca.   1 / 208

Vi har så:  Spilles der 208 gange, vil man med al sandsynlighed vinde én gang (vinde et eller andet).

208 indsatser á 15 kr. = 3120 kr.

Er dyreste gevinst på ca. 120 kr, får teltholderen 3000 kr til sig selv (for hver 208 spillere).

Han eller hun tjener altså. ca. 14 kr. hver gang, der er en spiller, som fisker.

#4

Der er nu ikke al sandsynlighed for at vinde mindst een gang i 208 spil; men chancen er dog rimeligt stor. At vinde mindst een gang i 208 uafhængige spil er komplementærhændelsen til slet ikke at vinde i 208 spil. Hvis chancen er (35+84)/24804 for at vinde i eet spil, er chancen for ikke at vinde i eet spil da 1 - (35+84)/24804 . Chancen for slet ikke at vinde i 208 spil er så

(1 - 119/24804)²⁰⁸ ≈ 36,777% ,

og chancen for at vinde mindst een gang i de 208 spil er så

1 - (1 - 119/24804)²⁰⁸ ≈ 63,223%

dvs. rimeligt god, (men med mit held i spil, ville jeg ikke have en chance).

Det er jo således, at 1 - [1 - (1/p)]^p = 1 - e^{p·ln(1 - (1/p))} → 1 - e^p·(-1/p) = 1 - e^-1 ≈ 63,2121% for p → ∝ .

Hvis vi har tid og råd til at deltage i flere end 208 af disse "ande"spil, vil sandsynligheden for at vinde mindst eet spil nærme sig mere og mere til de 100%, jo flere spil vi deltager i.