Bestem fællesmængden M, og vis, at M er et underrum

Fællesmængden L består af løsningsmængden til ligningssystemet H og K . Man isolerer x₁ og x₂ udtrykt ved x₃ og x₄:

H+K: 3x₁ = 3 + 3x₄, hvoraf x₁ = 1 + x₄ ;

K-H: 2x₂ = 3 +x₁ +2x₃ -7x₄ = 4 + 2x₃ -6x₄ , hvoraf x₂ = 2 + x₃ - 3x₄

Sætter man x₃ = s og x₄ = t, fremkommer det givne løsningsudtryk.

Hvorfor trækker du H fra K? Og er det lige så rigtigt at vælge andre parametre i stedet for x_1 og x_2?

#2

Jeg trækker fra for at foretage en operation, der er lineært uafhængig af H+K . Det ville faktisk have været simplere blot at bruge ligning K uændret:

x₂ = 3 -x₁ + x₃ -2x₄ = 3 -1 -x₄ +x₃ -2x₄ = 2 + x₃ -3x₄

Ja, man kunne have valgt andre parametre. Man kunne lige så vel have udtrykt x₃ og x₄ ved x₁ og x₂ og så kaldt x₁ og x₂ for s, hhv. t .

Det, man får, er en parameterfremstilling for løsningsmængden L, og der mange forskellige ensgyldige parameterfremstillinger for den samme løsningsmængde.

Jeg har kigget i bogen Lineær Algebra for at finde ud af hvad en fællesmængde egentlig betyder, men det virkede meget uoverskueligt. Kan du kort forklare hvad fællesmængden angiver?

Fællesmængden er vel en paramterfremstilling, men hvad angiver paramterfremstillingen?

#4

Fællesmængden L her er fællesmængden af de to løsningsmængder for ligningerne H og K særskilt:

L = {x | (H er opfyldt) ∧ (K er opfyldt)} = {x | H er opfyldt} ∩ {x | K er opfyldt}

Er det løsningsmængder, som både indgår i H og K? Kan der være et tilfælde, hvor en løsningsmængde i fx. H er opfyldt men ikke i K?

#6

Når man løser et ligningssystem bestående af to ligninger, bestemmer man de x , der opfylder begge ligninger samtidig. Det svarer til at finde fællesmængden af løsningsmængden for H, og af løsningsmængden for K. Fællesmængden for to mængder A og B er jo mængden af de punkter, der er elementer i både A og B .