skæring mellem linje og cirkel

Ja

Skæring kræver samtidig opfyldelse af både liniens ligning og cirklens ligning. Isoler y i liniens ligning og indsæt i cirklens ligning, og løs den fremkomne ligning i x. Hvis der er løsninger, bestemmes skæringspunkternes y-koordinater ved at indsætte de fundne x-koordinater i liniens ligning.

#1 --> økseskaft?

dvs
          cirkel                                                          linje
                        (x-a)² + (y-b)² = r²                                     y = ex + f

     skæring kræver

                                            (x-a)² + (y-b)² = r²     og      y = ex + f
dvs
                                            (x-a)² + (ex+f - b)² = r²

                                            (x-a)² + (ex + (f-b))² = r²
                  
                                            (1+e²)·x² + 2(ef - eb - a)x + (a² + (f-b)² - r²) = 0 

en anden vej
er at beregne centrums C(a,b)'s afstand fra linjen
                                                                                             L:     hx + ky  + q = 0

            dist(L,C(a,b)) = |h·a + k·b + q| / √(h²+k²)
 

mathon jeg føler altid at du skriver på et sprog, jeg ikke forstår. 

altså du er nødt til at skrive mere tekst og forklaring. 

konsulter
www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx

#5

Meningen er jo, bl.a., at du selv skal tegne med og arbejde dig igennem ligningerne, der præsenteres summarisk her, og derved bliver du også i stand til selv at fylde lidt mere tekst på. I øvrigt kan du følge den mere verbale forklaring i #2 sammen med ligningerne i #3.

jeg blev forvirret af at du skrev y = ex + f 

da jeg antog at du med e mente e. altså exp. 

 hvordan kommer du fra

(x-a)² + (ex + (f-b))² = r²

til

(1+e²)·x² + 2(ef - eb - a)x + (a² + (f-b)² - r²) = 0

#9

Brug kvadratsætningen for kvadratet på en toleddet størrelse og saml så leddene med x² , med x, og konstanterne for sig.

Andersen. følgende er fra link givet i #6 

(x-c1)²+(y-c2)²=r² (1) - cirklens ligning

samt

y=ax+b (2) - den rette linjes ligning.

Indsæt (2) i (1):

(x-c1)²+((ax+b)-c²)²=r², løs denne andengradsligning med hensyn til x, og indsæt de fundne værdier i (2) for at bestemme anden koordinaten til skærringspunktet.

dvs. de fundne x-værdier vha. diskriminanten, d = b²-4ac, (hvis der er løsninger) eller den fundne (hvis der er en løsning) skal sættes i linjens ligning, så y kan bestemmes? og hvordan findes så skærings koordinaten? 

#11

Ja, det er præcis den samme fremgangsmåde, som er benyttet her i denne tråd. Prøv at genlæse #2 . Man finder skæringspunkternes x-koordinater ved at løse 2.-gradsligningen i x . Der kan være ingen, 1, eller 2 løsninger. For hver løsning (x-koordinat) finder man så den tilhørende y-koordinat ved at indsætte dette x i liniens ligning. Skæringspunkterne skal jo ligge på linien, så derfor er det simpleste at indsætte et x i liniens ligning til beregning af det tilhørende y.

(x-a)² + (ex+f - b)² = r²

(x-a)² + (ex + (f-b))² = r²

hvorfor har mathon parantes omrking (f-b)²

bør det ikke være ((ex-f)-b)²

da y = ex+f

Andersen, kan du hurtig forklare ovenstående?

andre der kan hjælpe?

#13

Du er jo velkommen til at vælge andre symboler i stedet for de her valgte a, b, c, (d), e, f. Fremgangsmåden og resultatet er jo uafhængig af de valgte symboler.

Hvis man vil undgå for meget skriveri ved løsning af ligningerne

(x-a)² + (y-b)² = r²  , y = ex + f ,
 

kan man foretage translationen af koordinatsystemet så dets begyndelspunkt falder i cirklens centrum:

X = x-a , Y = y-b , hvorved ligningerne bliver

X² + Y² = r² , Y = e·(X+a) + f-b = e·X + e·a + f-b = e·X + F , med F = e·a + f-b , hvorved

X² + (e·X + F)² = r² , hvoraf

(1 + e²)X² + 2eF·X + F² -r² = 0 ,

hvis diskriminant er D = 4e²F² -4·(1+e²)·(F² - r²) = 4·(1+e²)·r² -4·F² . Skæring kræver derfor

F²/(1+e²) ≤ r²

#13

Netop derfor er det korrekt. Man har

y = ex + f , hvorfor

(y - b)² = (ex + f -b)² = (ex + (f-b))² = (ex)² + (f-b)² + 2e(f-b)x

#16 .... hmm, jeg må indrømme jeg ikke er helt med. kan godt se tanke gangen, men nu har jeg skrevet noter på den anden måde. jeg er ved at forberede mig til eksamen :( 

#17 jamen (y-b)² 

burde det så ikke være ((ex+f)-b)²

men tror bare jeg accepterer at det er sådan som i skriver det selvom det ikke rigtigt mening for mig lige nu 

#18

Jo, det er jo også det, jeg skriver i #17. Man flytter jo bare en plusparentes.

(ex+f) -b = ex + f -b = ex + (f-b)

ja okay.. nu har jeg sat tal ind i begge tilfælde og de er ens. tak for det.