mat B eksamen, spørgsmål

1) Det vil nok hjælpe dig at gennemgå definitionerne af cos og sin ved hjælp af enhedscirklen. Hvis du tegner en enhedscirkel i et koordinatsystem med centrum i (0,0) og en vinkel med det ene vinkelben liggende langs x-aksen, så er cos(x) lig x-koordinaten for det punkt hvor det andet vinkelben skærer enhedscirklen.

http://www.ies.co.jp/math/java/trig/cosbox/cosbox1.gif

Ligeledes er sin(x) y-koordinaten for skæringen med enhedscirklen.

2)

Nogle gange kan faktorisering gøre rodudledning utroligt nemt.

Se f.eks:

x^2-7x+12 = 0

Det kan vi faktorisere:

(x-3)(x-4) = 0

Nu er det simpelthen tæskenemt at finde rødderne (altså skæring med x-aksen.) For at produktet af de to faktorer kan give nul, må mindst en af dem give nul. For hvilke værdier af x er dette sandt? Jo, x=3 og x=4 - dette er altså de to rødder.

            du bruger kun enhedscirklen til at definere for retvinklede trekanter
ikke
            for vilkårlige trekanter                    (så du behøver ikke være forvirret)

faktorisering:

                              differentialkvotienten til et tredjegradspolynomium
                   er
                              et andengradspolynomium.

                              hvis du skal redegøre for tredjegradspolynomiets monotoniforhold,
                              er det bekvemt at have
                              differentialkvotienten
                                                                       f '(x) = ax² + bx + c
                              på faktoriseret form
                                                                       f '(x) = a(x-rod₁)(x-rod₂)          forudsat at der findes 2 rødder

    det er så let at bestemme monotoniintervalgrænser
    ud fra
                                                                       f '(x) = 0
    og at
    bestemme fortegnsvariation for f '(x),
    som en forudsætning for analysen af
    tredjegradspolynomiets monotoni.

Mange tak for jeres hurtige svar, det er rigtig dejligt!
 
- Jamen jeg forstår godt at cos(v) aflæses på x-aksen og sin(v) , men hvad hvis min lærer beder mig om at finde sin(05), vil det så betyder at jeg skal bevæge mig 0,5 op af y-aksen :o ?
 Det vil altså sige, at jeg ikke kan bruge enhedscirklen til en stump vinkel :O ? hm jamen hvad, hvis højden ligger udenfor trekanten, så der på den måde dannes en stump vinkel ? Jeg er lidt bange for, hvilke spørgsmål der kan komme i forbindelse med geometri :(

- Hvordan faktoriserer du x^2-7x+12 = 0 til (x-3)(x-4) , er det ikke først ved at beregne diskriminanten og derefter anvende formlen for når d>0 ?

Mange mange tak vil jeg sige igen :- )

 

Nej, hvis du bliver bedte om at finde sin(5 grader) indtegner du vinklen 5 grader i enhedscirklen, så du har to vinkelben adskilt med fem grader, hvor det ene ligger langs x-aksen og det andet højere oppe. For så at aflæse sinus finder du y-koordinatet for det punkt hvor dit vinkelben skærer enhedscirklens periferi. Dette y-koordinat er, ganske enkelt, sin(5 grader). Det virker fint for stumpe vinkler også. 

Hvad angår faktoriseringen: Jeg gætter. Jeg ved at tallet uden x'er (12) er produktet af de to faktorers tal, og jeg ved at 7-tallet er en sum eller differens. 3*4 = 12 og 4+3 = 7. Så satte jeg bare ind og tjekkede baglæns at det passer. Dernæst behøver jeg ikke bruge diskriminantformlen fordi rødderne simpelthen fremgår af de to faktorer.

Okay tak sarah , jeg tror nok, at jeg forstår det .. Det vil altså sige at hvis jeg skal finde sin(20 grader) så tegner jeg en vinkel på 20 grader, som rører enhedscirklen i punktet p(retningspunktet), dernæst bevæger jeg mig ud på y-aksen, men hvad vil der så være der ?

Tak for det svar mht faktoriseringen!

Jeg ved ikke helt om eg forstår det, hvorfor skal jeg snakke om tredjegradspolynomier og monotoniforhold :o

Det du finder på y-aksen når du går vandret ind fra punktet P er slet og ret sin(20 grader) - altså ca. 0,3 :)

Når du gør det i hånden handler det altså om at have tegnet en tydelig enhedscirkel med gode inddelinger på x- og y-aksen.

Jamen hvordan kan jeg se at det er 0,3 ?

Forresten jeg er lige blevet i tvivl angående faktoriseringen.. altså gælder det for alle andengradsligninger? hvis nu at ligningen i stedet er x^2 +15+24 ?

Du kan se at det er 0,3 fordi du har tegnet en MEGET tydelig y-akse med MEGET grundige inddelinger på en kæmpestor enhedscirkel. :-)

Lad os sige at du har tegnet enhedscirklen så den har en radius på 1 cm: Nu kan du med en lineal måle dig frem til sinus på y-aksen. Du vil i dit eksempel få resultatet 0,3cm - dvs. sin(20 grader) = 0,3

Hvis vi nu sagde at du havde tegnet enhedscirklen ti gange større, altså med en radius på 10 cm, ville du endnu nemmere kunne måle dig frem til resultatet med en lineal - nu ville du nemlig i stedet få 3 centimeter. Så skal du blot huske at dividere med ti, fordi du har lavet din "enheds"-cirkel ti gange større end din måleenhed (1 cm). Du får altså det samme resultat: sin(20 grader) = (3 cm) / (10 cm) = 0,3 

For andengradsligninger gælder det at de har nul skæringer (grafen er "sur" og ligger under x-aksen, eller grafen er "glad" og ligger over x-aksen), én skæring (toppunktet rører netop x-aksen) eller to skæringer med x-aksen (benene går gennem x-aksen enten fra oven eller fra neden.) Dette afslører de faktoriserede udgaver af andengradsligningen ikke, men som bekendt gør diskriminanten det. I nogle tilfælde er det bare heldigt at det er nemt at faktorisere. Dit eksempel har ingen skæringer, og ingen rationelle faktoriseringer.

Jeg har vedhæftet et billede som måske letter forståelsen.

tak tak tak, nu forstår jeg det, men hvad hvis trekanten var stump ?

 

 Hvis vinklen var f.eks. 120 grader, får du her et billede med dén situation. Giver det mening?

Tak sarah, men jeg er ikke helt sikker på hvad resultatet bliver her? Er det ikke noget med at hvis man tager cosinus til en stump vinkel fx 120 grader, at så bliver tallet negativt fordi at man nu vil befinde sig over i den negative del af x-aksen

Det er korrekt, men her er det altså sinus jeg har noteret resultatet på. Cosinus findes ganske rigtigt på x-aksen.

Ja okay jeg tror godt jeg forstå det med sinus, men hvad med cosinus?? vil du hurtigt forklare den..
Og mange mange tak for din tålmådighed

 Cosinus er defineret som x-koordinatet på det punkt hvori vinkelbenet skærer cirkelperiferien i enhedscirklen. Definitionen er altså helt som sinus, bare x-koordinatet i stedet for y-koordinatet.

Sagt på en anden måde er hvert punkt på enhedscirklens periferi givet ved koordinatsættet P(x)=(cos(x),sin(x)) hvor x er vinklen.

 Hvis du kigger på billedet for 120 grader kan du altså også aflæse cirka hvad cosinus til 120 grader giver, nemlig ca. -0,5. (P ligger cirka midt mellem de indtegnede -0,4 og -0,6 på x-aksen)

Tak sarah, det har været rigtig dejligt at du ville hjælpe mig! Er det ikke ca. det man skal kunne angående enhedscirklen? :-)