integration og partiel diff.

Man differentierer funktionen mht. x ved at betragte den som en sædvanlig funktion af x og betragte y som en konstant:

∂f/∂x = e^xy + y·x·e^xy

Differentieres dernæst mht y, betragtes x som en konstant:

∂²f/∂x∂y = x·e^xy + x·e^xy + yx²·e^xy = 2x·e^xy + x²·y·e^xy  .

Hvis f(x,y) skal integreres mht. y, betragter man x som en konstant, og resultatet bliver da e^xy + k

kom for sent :)

      f(x,y) = x·e^xy

     ∂f(x,y)/∂x = 1·e^xy + x·e^xy·y = e^xy(1+xy)                       y er konstant

     ∂f(x,y)/∂y = x·e^xy·x = x²e^xy                                                       x er konstant

hvoraf
               ∂²f(x,y)/∂x∂y = xe^xy(1+xy) + xe^xy = e^xy(x+x²y+x) = e^xy(2x+x²y)    som i #1

integration:

                     ∫ xe^xydy

sæt
         u = xy
         du/dy = x
         xdy = du

hvoraf
                                      _{substitution                     tilbagesubstitution}     
                ∫ xe^xydy = ∫ e^xy(xdy)  = ∫ e^udu = e^u + k = e^xy + k

hej, tak for den lynhurtige hjælp! fik regnet det igennem og kom til det samme resultat som dig mathon.

(bruger produktreglen: f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) samt e^bx --) be^bx hvoraf b er en konstant reglen)

lige mth. integrationen: tak for udregningen, kan godt følge "marthon" i den, men prøvede at anvende integration ved substi. mht. x - og det blev sådan lidt mærkeligt da jeg gik i stå ved at ydy = du, men den hedder jo x·e^xydx   og det fik jo meget godt med x, fordi du=dxy som man kunne sætte ind, men her ved y?

og ikke mindst til svar 4: er lidt uerfaren med at bruge ∂f(x,y)/∂y - da jeg plejer at bruge f''xy, så når I skriver ∂2f(x,y)/∂x∂y mener I så f''xy?

#6

Ja, med ∂²f(x,y)/∂x∂y menes f''_xy(x,y) .