svær opgave

1)

Ligningen x + y + z = xyz , x>0, y>0, z>0 , bestemmer en flade i rummet. Vi kan her isolere z som funktion af x og y:

z = -(x+y) / (1 -xy) ,

og opgaven drejer sig om at finde minimum for funktionen

f(x,y) = z·xy = -(x+y)xy / (1 - xy)

For at finde minimum, finder vi først de mulige stationære punkter, dvs. punkter, hvor både

∂f/∂x(x,y) = 0 og ∂f/∂y(x,y) = 0 er opfyldt.

Vi har nu

∂f/∂x = (x²y² - 2xy -y²) / (1 - xy)² , og

∂f/∂y = (x²y² -2xy -x²) / (1 - xy)² ,

så vi skal finde positive løsninger til ligningssystemet

y·(x²y -2x -y) = 0
x·(xy² -2y -x) = 0

Da vi kun søger positive løsninger giver nulreglen i den sidste ligning

x(y²-1) = 2y, eller

x = 2y/(y² -1) ,

der indsat i den første ligning

x²y -2x -y = 0

giver

4y²·y/(y²-1)² -4y/(y2-1) -y = 0 , eller, efter division med y og multiplikation med (y²-1)² ,

4y2 -4y2 +4 -(y²-1)² = 0, eller

(y² -1)² = 4 ⇒ y² -1 = 2 ∨ y² -1 = -2 ⇒ y² = 3 ⇒ y = √3

da vi kun benytter positive løsninger. Vi får så for dette y at x = 2(√3) / (3-1) = √3 , og også

z = -2(√3)/(1 - 3) = √3 .

Det er let at se, at der er tale om et lokalt minimum, og da definitionsmængden er åben og sammenhængende, er det et globalt minimum, så vi får

xyz ≥ 3√3

2)

Isolerer man igen z = -(x+y)/(1 - xy) , skal man finde minimum for funktionen

g(x,y) = √(1+x^-2) + √(1+y^-2) + √(1+z^-2)

          = √(1+x^-2) + √(1+y^-2) + √(1+x²y²+x²+y²) / (x+y)

Tusind tak for hjælpen

Du skriver:

Det er let at se, at der er tale om et lokalt minimum, og da definitionsmængden er åben og sammenhængende, er det et globalt minimum, så vi får

Hvad ville der ske hvis definitionsmængden ikke var sammenhængende, altså hvis funktionen ikke var kontinuert?

#3

Så må man betragte funktionen i hvert sammenhængende område for sig. Hvis definitionsmængden ikke er åben, f.eks., hvis kvartplanerne, der begrænser den positive oktant {(x,y,z) ∈R³ | x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > 0} havde været inkluderet, skulle vi også have betragtet funktionens opførsel på kvartplanerne.