Geometri spørgsmål

Du må præcisere lidt mere, hvad antagelserne er i denne figur. dy er tilsyneladende højde i en trekant, hvis grundlinie er dx. Det antydes, at trekanten er ligebenet, med de to lige store sider på dx , hvorfor vinklen øverst til venstre er (1/2)"dy/dx" . Så er

tan("dy/dx") = dy / dx

Grundlinien i den ligebenede trekant er så

2dx·sin(1/2"dy/dx") = "dy/dx"·dx , og endelig er

dΔ = "dy/dx"·dx·sin((1/2)·"dy/dx") = (1/2)("dy/dx")²·dx

hvor man her har sat sin(u) = tan(u) = u , da u antages at være meget lille.

Jeg er altså ikke med på, hvad der gøres. Du antager først, at der er en ligebenet trekant, med lige store sider på dx. Hvordan kan du derefter konkludere, at vinklen øverst til venstre er (1/2)"dy/dx". Hvorfor "gåseøjne" om dy/dx?

2

For at gøre det klart, at der ikke er tale om brøken (dy / dx) , men om en vinkel, der blev kaldt "dy/dx" . Da trekanten er ligebenet, følger det så, at vinklen øverst til venstre er det halve af topvinklen i den ligebenede trekant.

#3

Hvordan kan vi vide, at vinklen i trekanten er "dy/dx"?

#

Det er jo sådan, den er kaldt på din tegning. Jeg gjorde netop opmærksom på, at vinklen ikke er brøken (dy / dx). Derfor satte jeg " " omkring udtrykket som en vinkel. Jeg ved ikke, hvad det er, du prøver at vise.

Tegningen forestiller et delstykke af en bøjet stang.

Kan man ud fra tegningen se, at vinklen netop er "dy/dx"?

#6

Tegningen er så overdrevet for at tydeliggøre situationen, og vinklerne er i virkeligheden små, hvorfor (se #1)

"dy/dx" ≈ tan("dy'dx") = dy / dx

#7

Ok. Hvilken regel bruger du til at finde grundlinien af den ligebenet trekant?

#8

Jeg brugte sinusrelationen i en retvinklet trekant. Hypotenusen er dx, og den ene vinkel er (1/2)·"dy/dx" .

#9

Hvis det er en ligebenet trekant vi har med at gøre, så er vinklen 1/2 "dy/dx" med hypotenusen dx, ja.

Kan ikke få det til at passe, når jeg sætter ind i formlen:
sin(α) = modstående/hypotenusen <--> sin(1/2 "dy/dx") = modstående/dx <--> dx · sin(1/2 "dy/dx") = modstående. Du får et udtryk ud af det?

#10

Ja, det står i #1. Grundlinien er så 2·dx·sin((1/2)"dy/dx") ≈ 2·dx·(1/2)·"dy/dx" = "dy/dx"·dx . Man skal jo igen benytte, at der er tale om infinitesimale størrelser, så vinklen "dy/dx" er lille, og dens sinus kan erstattes med vinklen selv.

#11

Hvor får du 2-tallet fra (2·dx ...)? Det får jeg ikke i #10.

#12

Jeg ganger med 2 for at få hele grundlinien. Den halve grundlinie er dx·sin((1/2)"dy/dx") . Den retvinklede trekant indeholder jo kun den halve grundlinie fra den ligebenede trekant.

#13

Ja det er korrekt. Hvad er det egentlig, der forstås ved f.eks. dy/dx ≈ tan(dy/dx) eller med sinus for den sags skyld? Kan det vises med et tal eksempel for at tydeliggøre det?

#14

Når vinklerne er små gælder tan(u) ≈ sin(u) ≈ u . Det kan indses ud fra rækkeudvinklingerne for tan(u) og sin(u), eller ud fra geometriske betragtninger ved enhedscirklen, hvor den modstående katete smelter sammen med med cirkelbuen, og den hosliggende katete nærmer sig hypotenusen i størrelse, når vinklen bliver meget lille.

#15

Hvor langt skal vi ned før vi kan kalde det for "små"? Kunne det også sættes lig cos(u)?

#16

I den samme approksimation er cos(u) = 1 . Der er jo tale om en grænseovergang, hvor u → 0 .

#17

Det må være fordi, at hosliggende katete og hypotenusen er stort set det samme i en enhedscirkel ved minimale vinkler.