differentialligning (har lavet opg.)

Din metode er helt rigtig. Det kan formuleres lidt bedre ved at sige at differentialligningen også skal være opfyldt i røringspunktet, hvorfor du kan bruge den angivne ligning til at finde y i røringspunktet.

# 1

Tak for dit svar.

Jeg er bare lidt i tvivl om, hvordan jeg skal formulere, at jeg kan sætte differentialligningen lig med 1 (jeg ved godt det er fordi den anden linje har hældningen 1).  Skal man sige, at differentialligningen udtrykker hældningen for tangenten? Plejer dette ikke at være differentialkvotienten, der gør det? Jeg er i tvivl om, hvilke formuleringer, der er matematisk korrekte

Du sætter ikke differentialligningen = 1. Du sætter y' = 1 og x = 1 i røringspunktet, hvilket giver en ligning til bestemmelse af y i røringspunktet. Differentialligningen selv holder for alle tilladte x og dermed også for x = 1, y'=1

Er y' ikke min differentialligning? Hvis jeg sætter y' = 1, må det være ensbetydende med, at y' er et udtryk for tangenthældning. Jeg er lidt forvirret her, for jeg var under den opfattelse, at det kun er f '(x) der angiver tangenthældningen. Er

f ' (x) = y'

det samme i dette tilfælde, fordi f(x) er løsningen til differentialligningen?

Altså grunden til at jeg kan løse disse opgaver, er at jeg opfatter differentialligningen som min differentialkvotienten, og så ved jeg fra 2.g, at differentialkvotienten er et udtryk for min tangenthældning.

En differentialligning er en ligning for funktioner og giver som facit en eller flere funktioner. Facit gælder så for alle x, som den er defineret for. I opgaven er der så givet noget om en speciel x værdi. Ligningen og facit gælder selvfølgelig også for den x værdi. Sætter du det x (her 1) ind gælder resultatet også og det giver en ligning til bestemmelse af y koordinaten for røringspunktet.

Du kan rent faktisk løse opgaven ved at finde en generel løsning til differentialligningen. Denne løsning vil indeholde en integrationskonstant. Konstanten kan du så bestemme af at f'(1) = 1

Det du siger, er jeg alt sammen med på. Det jeg ikke kan argumentere for er, at man kan sætte

y' = 1

(Jeg ved godt, det er fordi, at den anden linje har denne hældning) Jeg kan ikke argumentere for det.

Hvordan ville du formulere hele besvarelsen trin for trin? Du behøver ikke lave udregningerne, men bare henvise til mine

#4

Du bliver ved med at blande differentialkvotient og differentialligning sammen. En ligning er et udsagn, der siger, at de to udtryk på hver side af lighedstegnet er lige store.

Differentialligningen udtrykker en sammenhæng mellem en funktion f og dens afledede f' , som funktioner, der er løsninger til differentialligningen, skal opfylde. Man kan så bruge differentialligningen til at regne den afledede ud i et punkt, hvor man kender x og f(x).

For en løsning til differentialligningen

y' = e^x + 3y

gælder der således, at

f'(1) = e + 3f(1) .

Hvis en bestemt løsning skal have en tangent i punktet (1 , f(1)), der er parallel med linien y = x - 5, skal der gælde f'(1) = 1, hvorfor der skal gælde f(1) = (1-e)/3 . Det kan så benyttes til at bestemme integrationskonstanten for den generelle løsning til differentialligningen.

Jeg ved godt, at der er forskel på de to ting. Men det er lidt svært at forklare disse opgaver, når ens matematikbog foretager en masse implicitte beregninger uden på noget tidspunkt at give forklaringer.

Min bog ville fx bare skrive

y' = 1

og så finde y-koordinaten i røringspunktet

Dette kan man dog ikke sige medmindre man har forklaret, hvorfor y' er det samme som vores tangenthældning.

Lad mig give et eksempel taget direkte fra min bog:

Vi ser på differentialligningen

y' = (x²+1)*(y²+1)

Hvis integralkurve går gennem punktet (0,1), da ved vi at tangenten til integralkurven i det punkt har stigningstallet y'(0) = 2. HVOR VED VI DET FRA? y' er jo ikke vore differentialkvotient ligesom du også siger.

På forhånd tak

#9

Det ved man, fordi x = 0 og y(0) = 1, hvorfor y'(0) = (0²+1)·(1²+1) = 2 .

y' er jo netop differentialkvotienten for en løsning y(x) til differentialligningen. Derfor kan man bruge differentialligningen til at beregne differentialkvotienten i et bestemt punkt, hvor man kender x og y, som jeg også beskrev i #7.

Du har jo også forklaret hvorfor y' = 1 i røringspunktet, så den del er helt i orden.  I #0 siger du at du er i tvivl om en speciel sætning og det er den præcise sætning jeg svarer på. Normalt vil jeg acceptere den; men når du nu spørger må jeg svarer at det er lidt upræcist. Du sætter de fundne værdier ind i differentialligningen og får så en ligning. Denne ligning er ikke en differentialligning men en lineær ligning, hvoraf du kan finde y værdien for røringspunktet

#10

Jeg synes bare notationen er lidt uklar så, for løsninger til diff.lign. angives jo som oftest som f(x).

Men mange tak for jeres hjælp og tid

#12

Man kunne også skrive differentialligningen i #9 som

f'(x) = (x² + 1)·(f(x)² + 1)

men da man tit skriver y = f(x) , anvendes den anden notation ofte med y' eller dy/dx i stedet for f'(x), og y i stedet for f(x).

I fortsættelse af #13

Ligningen gælder for alle x også for x = 1. Sætter man  x = 1 ind i ligningen får man f'(1) =(1²+1)(f(1)² + 1), hvilket når man kender f(1) og f'(1) giver en ligning til bestemmelse af f(1)

#14

Jeg skal lige være sikker på om det er en fejlsætning:

hvilket når man kender f(1) og f'(1) giver en ligning til bestemmelse af f(1)

mener du ikke, at når man kender f '(1), da får man en ligning til bestemmelse af f(1)?

Ja. Beklager det var ikke særligt heldigt formuleret