Udledning af formel

Der gælder N_cr = A*σ_cr. Sæt det ind i formlen. Rent umiddelbart ser det ikke ud til at passe, så du mangler formodentlig at angive nogle yderligere oplyysninger.

#1

Der er ingen yderligere oplysninger. Jeg kan ikke selv få det til at gå op.

#2

Eftersom N ikke indgår i den endelige formel, men kun i formlen, man starter med, må der også være et udtryk for N, der kan benyttes.

#3

Der gælder som sædvanligt: σ_b = N / A.

  Du kan altså ikke regne med at vi kender baggrunden for opgaven og dermed ikke det du skriver i #4. Så må du også sætte det ind i ligningen. Da A eller W kun indegår i højre side af den formel, der skal bevises kan du prøve at isolerer disse størrelser.

#4

Vi er altså ikke inde i din terminologi. Du bliver jo nødt til at give alle oplysninger og forudsætninger.

Så får man

f_y - σ_b = σ_b · (A/W) · A·σ_cr · u_o/(A·σ_cr - A·σ_b) og dermed

(f_y - σ_b)(σ_cr - σ_b) = σ_b · (A/W) · σ_cr · u_o

hvilket vist svarer til det ønskede resultat.

#5 og #6

Ja, det er korrekt, og tak for hjælpen.

Et tillægsspørgsmål:

Når: (σ_cr - σ_b)(f_y - σ_b) = σ_b · σ_cr · η divideres med σ_cr/f_y skal det vises, at følgende gælder: (1 - χ)(1 - λ² · χ) = η ·χ, hvor χ = σ_b/f_y og λ² = f_y/σ_cr.

#7

Ja, prøv nu selv.

#8

Trin 1:

(σ_cr - σ_b)(f_y - σ_b) / (σ_cr/f_y) = σ_b · σ_cr · η / (σ_cr/f_y)

Trin 2:

f_y · (σ _cr   - σ_b)(f_y  - σ_b) / σ_cr = f_y · σ_b ·  σ_cr · η / σ_cr

Trin 3:

(f_yσ_cr - f_yσ_b)(f_y² - f_yσ_b) / (σ_cr · f_y) = σ_b · η

Trin 4:

(1 - σ_b/σ_cr)(λ² - σ_b/σ_cr) = σ_b · η

Ser det rigtigt ud indtil videre? Er jeg på rette vej?

#9

På højre side får man

σ_b · σ_cr · η / (σ_cr / f_y) = σ_b · f_y · η = χ · η · f_y² ,

så mon ikke man skal dividere med (σ_cr · f_y)  i stedet for med (σ_cr / f_y) ?

Der er ikke meget plan i at lave disse besværlige reduktioner, når du ikke formulerer dem rigtigt.

#10

Der står direkte i bogen følgende:

"[...] Ved at dividere (6.16) med σ_cr / f_y findes: (1 - χ)(1 - λ² · χ) = η · χ [...]"

Her er formel 6.16. den formel jeg angiver i #7.

Det kan også være, at der er trykfejl i bogen, men hjælper det, hvis man dividerer med (σ_cr · f_y)? Så længe facit kommer til at passe, så er der vel ikke noget problem.

#10

Passer det, hvis man dividerede med (σ_cr · f_y)?

#12

Hvis man dividerer med (σ_cr · f_y) , får man på højre side

σ_b · σ_cr · η / (σ_cr · f_y) = σ_b · η / f_y  = χ · η

På venstre side får man så

(σ_cr - σ_b)·(f_y - σ_b) / (σ_cr · f_y) = (1 - σ_b/σ_cr)·(1 - σ_b/f_y)

                                              = (1 - λ²·χ)·(1 - χ)

med    χ = σ_b / f_y     og     λ² = f_y / σ_cr

Det er blot simpel division og reduktion.

#13

Giver (σ_cr - σ_b) / (σ_cr · f_y) ikke (1/f_y - χ/σ_cr)?

#14

Jo, men det kan du jo ikke bruge til noget her.

#15

Netop. Hvordan kommer du så frem til det som du får i #13?

#16

Det fremgår da ellers af #13, hvis man skeler til højresiden

(σ_cr - σ_b)·(f_y - σ_b) / (σ_cr · f_y) = ((σ_cr - σ_b)/σ_cr) · ((f_y - σ_b)/f_y)

                                               = (1 - σ_b/σ_cr) · (1 - σ_b/f_y)

#17

Det er jo rigtigt. Mange tak for det.

Et sidste spørgsmål for i dag:

Til udtrykket: χ = (1 + α(λ - λ₀) + λ² - ((1 + α(λ - λ₀) + λ²)² - 4 · λ²)^1/2) / (2 · λ²) indføres forkortelsen

φ = 0,5(1 + α(λ - λ₀) + λ²). Derfor kan det første udtryk skrives om til: χ = (φ - (φ² -  λ²)^1/2 / (λ²).

Jeg forstår ikke  helt, hvordan det led, der hedder 4 · λ² bliver lavet om til λ². Hvordan kan det være muligt?

#18

Så står der

χ = ( 2φ - ( (2φ)² - 4λ² )^1/2 ) / (2λ²)

Kan du nu se, at man kan forkorte med 2 ?

#19

Ja, man dividerer med 2 på alle led. Derfor ville jeg også mene, at man fik:

χ = (φ - ( (φ)² - 2λ² )^1/2 ) / (λ²)