f) Vi ved at planet 2x+2y-1z=5 er tangentplanet for en kugle med radius 6 i punktet (2,3,1). Fra disse oplysninger kan der være tale om to forskellige kugler. Find ligningen for de to.

Kuglens centrum C ligger så på linien gennem punktet P(2,3,1) med planens normalvektor n som retningsvektor, og kuglens centrum ligger i afstanden 6 fra punktet P. Der er to mulige løsninger for kuglens centrum, en på hver side af planen. Vi har da

OC = OP ± 6 · n/|n|

Forstår bare ikke rigtig hvad jeg skal?

- Hvad hedder normalvektoren så?

#2

En normalvektor aflæses jo direkte af planens ligning 2x + 2y -1z = 5 .

Det eneste problem ved opgaven er, at punktet (2,3,1) ikke ligger i den nævnte plan.

Er normalvektoeren så (2, 2, 1)?

#4

Ja, det er korrekt. Det er en normalvektor.

Kan du bekræfte, at du har formuleret opgaven korrekt? Se #3. Punktet (2,3,1) ligger ikke i den nævnte plan.

Min matematiklærer har ændret ligningen, så den hedder: 2x + 2y -1z = 9, håber det passer bedre :-)

Men hvad gør jeg så, når jeg har fundet normalvektoeren?

#6

Ja, det passer jo meget bedre. Det nævnte punkt ligger på denne plan, og det ændrer intet ved fremgangsmåden som beskrevet ovenfor.

Find de mulige koordinatsæt til kuglens centrum ved hjælp af formlen i #1 , og opskriv de to kuglers ligninger.

Hedder de to ligninger så?:

(2, 3, 1)+9*(2, 2, 1)

(2, 3, 1)-9*(2, 2, 1)

Eller skal 9 tallerne byttes ud med 6?

Tallene i parenteserne skal stå op.

Synes nemlig det ser bekendt ud.

#8

Du har bare sat nogle talsæt op. Hvad har det med kuglernes ligninger at gøre? 

Og nej, det er ikke koordinatsættene for kuglernes centre.

Genlæs sidste linie i #7.

OC = OP ± 6 · n/|n| .

Dit svar i #4 er ikke helt korrekt, da jeg overså et fortegn i mit svar i #5. Aflæs normalvektoren n af planens ligning og indsæt i udtrykket.

Synes jeg også jeg har gjort, så tror jeg altså ikke rigtig jeg forstår det.

Du sagde normalvektoren = (2, 2, 1)

Og punktet p = (2, 3, 1)

Så må det jo også være:

(2, 3, 1) + 6* (2, 2, 1)

(2, 3, 1) - 6* (2, 2, 1)

Ellers kan jeg simpelthen ikke rigtig forstå det.

#10

Man aflæser en normalvektor for planen 2x + 2y -1z = 9 til n = (2 , 2, -1) , der har længden |n| = 3 . Man finder koordinaterne til de to mulige kuglecentre af

OC = OP ± 6· n/|n|

       = (2 , 3 , 1) ± 6 · (2 , 2 , -1) / 3

       = (2 , 3 , 1) ± 2 · (2 , 2 , -1)

       = (2 , 3 , 1) ± (4 , 4 , -2 ) ⇒

OC = (6 , 7 , -1) ∨ OC = (-2 , -1 , 3)

Opstil nu de to kuglers ligninger.

Okay tak, så forstår jeg det bedre :-)