funktion givet ved grænse

Er tilbage med et problem i en anden boldgade, der har voldt mig og mine medstuderende mange problemer. Jeg afleverede for nyligt den vedhæftede opgave, og selvom jeg fik den 100% rigtig(rettet af en fysiker), er jeg nu faktisk ikke længere sikker på, at jeg alligevel gjorde det rigtigt.
Problemet er simpelt. Vi kan lade x=0 og lade y gå mod 0 og får da en anden grænseværdi, end hvis vi lader y=0 og lader x gå mod 0. Dermed konkluderes, at den ikke er kontinuert. Men problemet er jo lidt det her med, hvornår det er tilladt at sætte y=0 og hvornår det ikke er. Set fra et matematisk synspunkt er det vel tilladt, når x er lig et tal forskelligt fra 0, mens y går mod 0, for da har y ingen betydning. Det kan man naturligvis ikke når x=0, så der må man lade y gå mod 0.
Men nu tænker jeg bare - og det kan godt være at min matematiske sans ikke er for skarp - at når x går mod 0 så er x jo heller ikke længere et fast tal men også givet ved en grænse. Så for mig at se løses problemet om H(x)'s grænseværdi (som vi kalder O) for x->0 faktisk ikke ved at sætte y=0 og lade x->0 men i stedet ved en dobbeltgrænse.
O = limx->0 limy->0 h(x,y)
Min vejleder(som er fysiker - no offense, det er jeg selv) sagde så, at man bare tager grænsen inde fra, så vi når til det samme ved den anden betragtning. Men det synes jeg da ikke ligger umiddelbart i definitionen på h(x,y). For mig at se burde man da egentlig snarere sige, at O må være givet ved:
O = lim(x,y)->(0,0)h(x,y)
OG den grænse ved jeg ikke, hvordan jeg skal bestemme. Den måde jeg tidligere har lært falder tilbage på at nærme sig langs konturer, som jo egentlig er det man gør når vi enten sætter y eller x lig 0 og lader den anden gå mod 0, så måske når man alligevel tilbage til samme fremgangsmåde, som jeg egentlig ikke synes virkede logisk.
Hvad sker der i dette problem ud fra et matematisk synspunkt og er min betragtning omkring dobbeltgrænsen forkert?
Endnu engang mange mange tak, for den MEGET brugbare hjælp jeg får herinde (specielt af Andersen og Peter) :)