Rationel funktion og partialbrøker.

Jeg går ud fra at du skal omskrive funktionen til formen A/(x-1) + B/x + C/(x+1) = R(x) hvilket i praksis betyder at du skal finde A, B og C. Dem finder du ved at forlænge med nævneren. Det giver polynomiet x2-2x-1 på venstre side og et polynomium på højre side, der indeholder A, B og C. Hvis de 2 sider skal være ens må de tilsvarende koefficienter til x erne være ens. Det giver 3 ligninger med de 3 ubekendte A, B og C, som du må løse.

A(x-1)+Bx+C(x+1)=x2-2x-1

Er dette rigtigt? Kan ikke komme videre herfra s:

Det er ikke rigtig. Du har (A/(x-1)+B/x + C/(x+1) )(x-1)*x*(x+1) = A*x(x+1) +B(x-1)(x+1)+Cx(x-1)

Hvordan kommer du frem til sidste del? :)

Jeg ganger nævnerpolynomiet ind og forkorter ud. I leddet med A kan jeg for eks. forkorte x-1 ud så der kun bliver faktorene x og x+1 tilbage af nævnerpolynomiet.

Men hvordan kommer man yderligere frem til konstanterne, A, B og C, har prøvet at løse det, men får kun x'er, og ingen tal.

Gang parenteserne ud og reduser så du har højre side som S*x² + T*x+U. For at dette skal stemme med venstre side skal koefficienterne i de 2 polynomier være ens. altså S = 1, T=-2 ...

indse at det giver

                            
                            
                          R(x) = -1/(x-1)   +   1/x   +   1/(x+1)     

hvorefter
                         ∫ R(x)dx = -∫1/(x-1)dx   +   ∫(1/x)dx   +   ∫1/(x+1)dx ............_osv...........

Dette indses ved at betragte

R(x) = (x²-2x-1)/((x-1)·x·(x+1))

        = (x² -1)/((x-1)·x·(x+1)) -2x/((x-1)·x·(x+1))

        = (x+1)(x-1)//((x-1)·x·(x+1)) -2/((x-1)(x+1))

        = 1/x -2/((x-1)(x+1))

        = 1/x + ((x-1) - (x+1))/((x-1)(x+1))

        = 1/x  +  1/(x+1)  -  1/(x-1)

Hvordan kom du frem til deT? Forstår det slet ikke

Hovs, havde ikke lige set, at du havde svaret, men det sidste mellemled du har, hvordan kommer du frem til det.

#10

Hvis du henviser til #9, kan du måske forsøge at forklare, hvad det er, du ikke forstår?

Linie 1 -> Linie 2: det ene led i tælleren skilles ud som selvstændig brøk.

Linie 2 -> Linie 3: En kvadratsætning benyttes til at faktorisere tælleren i den første brøk, og den anden brøk forkortes.

Linie 3 -> Linie 4: Den første brøk forkortes

Linie 4 -> Linie 5: Tælleren -2 i den anden brøk skrives som -2 = (x-1) - (x+1)

Linie 5 -> Linie 6: Den anden brøk skilles ud i to brøker, der forkortes.

Tror jeg har den nu. Tusind mange tak for jeres tid og hjælp! :)