Afledt funktion

...at integrere er det modsatte af at differentiere... Husk den abitrære konstant ved ubestemte integraler.

Jeg er stadig ikke helt med. Jeg tror ikke helt jeg forstår spørgsmålet.

Når nu f(x)=sinh^-1(x) og f'(x)=1/(√(x²+1)), er det klart, at f(x)=∫1/(√(x²+1))dx=sinh^-1(x)+k, hvor konstanten er triviel.

f(x)=∫1/(√(x2+1))dx=sinh-1(x)+k

er det svaret?

Det vil jeg da tro. Men du kan naturligvis direkte se, at 

f(x)=∫1/(√(x²+1))dx=ln(|√(x²+1)+x|)+k,

hvilket vistnok svarer til sinh^-1(x), hvis jeg ikke husker helt galt. Den numeriske værdi er endda irrellevant, da √(x²+1)+x>0 for alle x.

Husker galt? Hvordan kan du overhovedet så meget som huske det mindste af alt det her?? :-D

Mange tak for din hjælp, jeg har fået fat på det nu, bare jeg ikke skal regne på noget, så går det.

Jeg sidder og regner samme opgave, men kan ikke få den afledte til blive 1/sqrt(1+x^2). 

Jeg ved: sinh^-1(x) = ln(x + sqrt(1+x^2))

og den afledte må så være:

(sinh^-1)'(x) = 1/x *(x+sqrt(1+x^2) + ln(1+1/(2*sqrt(1+x^2)) * 2x)

Kan du hjælpe med at forkorte dette udtryk til 1/sqrt(1+x^2)?

#7

Det hedder den afledede funktion, ikke den afledte, når man taler om en funktions differentialkvotient.

Med x = sinh(y) = (e^y - e^-y)/2 fås

(e^y)² -2x·e^y -1 = 0 , hvoraf

e^y = (2x ± √(4x²+4))/2 = x ± √(x²+1) ,

og da e^y > 0 , benyttes den positive rod, og man får 

y = sinh^-1(x) = ln(x + √(x²+1))

Vi har da

dy/dx = (sinh^-1(x))' = (1/(x + √(x²+1))) · (1 + x/√(x²+1)) = 1/√(x²+1)

se
 

se