differentialligninger af typen y'+ay=b

jeg kan trække et emne til eksamen hvor det her bevis skal indgå, men jeg forstår det desværre ikke

diff.lign. = differentilligning da ' kan være svært at se er det med vilje jeg har lavet en lille mellemrum mellem f og '

sætning:

den fuldstændige løsning til diff.lign. 

dy/dx+ay=b eller f '(x)+a*f(x)=b

hvor a og b er reelle tal, og a ikke er 0, er givet ved

y=f(x)=b/a+c*e^(-ax)

bevis:

ligningen kan også skrives

f '(x)=-a*(f(x)-(a/b)),            (3)

1 # hvordan kan der være 2 a'er? hvor kommer det fra? er det at y er blevet differentieret og y og y' er blevet indsat i diff.lign., hvorefter de har rykket rundt? eller er det bare noget jeg skal acceptere og ikke forklare?

og vi indfører funktionen g(x) ved parentesens indhold, altså

g(x)=f(x)-a/b  eller   f(x)=g(x)+b/a

2 # skal det forstås som at i den første er g(x) den afledte, og i nr. 2 er f(x) den afledte? hvor kommer de fra? hvor ryger -a hen, hvis de har noget at gøre med den.. hvad mener de med at de indfører funktionen g(x) ved parentesens indhold?

så er 

f '(x)=g'(x)

3 # hvordan kan deres afledte være det samme, når der står -b/a i g(x) og +b/a i f(x)? burde de så ikke have forskellige fortegn?

og den ligning, vi skal løse, bliver efter (3) til

g'(x)=-a*g(x)

efter sætning 1 er den fuldstændige løsning til denne ligning givet ved

g(x)=c*e^(-ax)

4 # jeg kan ikke se hvordan den hænger sammen med sæt 1.

( sæt 1: den fuldstændige løsning til diff.lign. 

dy/dx=ky eller f '(x)=k*f(x),

hvor k er en given konstant,er givet ved

f(x)=c*e^(kx)

Her er c en vilkårlig konstant. )

 (jeg fortsætter med beviset for y'+ay=b)

hvoraf

f(x)=g(x)+b/a   =   b/a+c*e^(-ax)

(der kommer en del der vises på lommeregner)

deSolve(y '=k*y,x,y)

y=@1*e^(k*x)

deSolve(y '+a*y=b,x,y)

y=@6*e^(-a*x)+b/a

5 # hvorfor? kan man ikke bare taste det ind fra starten? hvad skal man bruge det til?

på forhånd, mange tak!