integration ved substitution og partiel integration

Den første: Den første linje er korrekt; men derefter går det galt når du skal find ∫x*e^-xdx. Du integrerer blot x og ignorerer eksponentialfunktionen. Du skal foretage en yderligere partiel integration, hvor du integrerer e^-x og differentiere x

Substitutionen er korrekt men du bør erstatte u med udtrykket som funktion af x.

Tak for dit svar!

Jeg får stadig noget galt når jeg går videre

Er integralet ∫x*e^-xdx? Altså ikke -e^-x? I så fald hvorfor?

Når jeg differentierer ∫x*e^-xdx får jeg x*-e^-x∫ 1*(-e^-x) = -xe^-x- e^-x

så når jeg sætter det ind i det første udtryk får jeg

 (1+x²) * (-e^-x) - 2*-xe^-x- e^-x hvilket heller ikke giver det rigtige resultat

-e^-x-x²e^-x+2xe^-x+e^-x

Kan du se hvor jeg gør det forkert?

Og mht. integration ved substitution er det så rigtig nok at man bare fjerner du? og ignorerer resten af funktionen, der ikke er en del af u? eller f(x) hvis  du vil kalde det det.. jeg har nemlig lidt svært ved at forstå hvad man gør

I den første del smider du blot x væk, hvad du ikke kan tillade dig. differentierer du e^-x får du -e^-x ≠ x*e^-x. I den anden roder du forskelligt sammen, så vidt jeg kan se. Differentiere du ∫x*e^-xdx får du x*e^-x. Som nævnt i #1 skal du bruge partiel integration. Det klarede du jo fint i den første del. så det undrer mig lidt at det går galt her.

OKay nu er jeg mildest talt lidt forvirret..

Hvorfor skal jeg differnetiere hele integralet?

Er den god nok frem til 

(1+x²) * (-e^-x) - ∫ 2x* (-e^-x) dx ?

Så skal jeg partiel integrere det integrale, der står tilbage? Der sætter jeg 2 udenfor og skal så integrere

∫ x* (-e^-x) dx ikke sandt?

Så vælger jeg f(x) = x og g'(x) = -e^-x

Når jeg integrerer med partiel integration er det = f(x)*g(x) - ∫ f ' (x) * g(x) 

(jeg prøver bare at skrive alt op, for jeg forstår ikke hvornår det går galt)

Det vil sige, x diff = 1 og g(x) = e^-x (det var måske her jeg smed x væk?)

derfor bliver integralet  = x*e^-x - ∫ 1 * e^-x dx

Så 1 integreret bliver x, e^-x integreret bliver -e-x

og dermed bliver hele integralet ialt:

2* ∫ x* (-e^-x) dx = 2*xe^-x+xe^-x 

Som slutresultat får jeg 

(1+x²) * (-e^-x) -2xe^-x+xe-x

hvilket vist heller ikke givet det rigtige... ja jeg får sikkert blandet en masse sammen, men jeg er også ret usikker på hvordan det her skal gøres

Der er meget rigtigt i det du skriver. Det er korrekt at du skal finde ∫ x* (-e^-x) dx og det er korrekt at det giver ∫ x* (-e^-x) dx = x*e^-x - ∫ 1 * e^-x dx men derefter går det galt med den sidste integration. Det bliver x*e^-x - ∫ 1 * e^-x dx= x*e^-x +  e^-x Ganger du dette med 2 får du 2* ∫ x* (-e^-x) dx = 2*xe^-x+2e^-x

Okay det forstår jeg godt, så langt.

Nu passer det meste med min bogs facit, bortset fra at der skal være -3e^-x og ikke e^-x som jeg synes det bliver her, men skyldes det er minusset fra første omgang integrering skal ganges ind i både 2xe^-x OG 2e^-x? I så fald giver det langt om længe det ønskede resultat.

Jeg var heller ikke klar over, at konstanten skal ganges ind begge steder for 2 ∫ 1*e^-x dx hvordan kan det være?

Og mange tak for din tid og hjælp :)

Der gælder jo alment at 2(a+b) = 2a+2b her er a =xe^-x og b =e^-x

Men jeg synes da ikke der er + imellem? Siger formlen ikke ∫ f ' (x) * g(x) ? så forstår jeg ikke for hvornår det bliver til et plustegn? 

Du ser det forkerte sted.

2* ∫ x* (-e^-x) dx = 2(x*e^-x +  e^-x ) = 2*xe^-x+2e^-x

Aaaaha nu forstår jeg.

Du skal have tak for hjælpen, det går lidt bedre med at løse de slags regnestykker nu!

Her er det hele sat sammen

∫ (1+x²)·e^-x dx = ∫ e^-x dx + ∫ x²·e^-x dx

                         = -e^-x +(-x²·e^-x) - ∫ 2x·(-e^-x) dx

                         = -e^-x -x²·e^-x + 2·∫ x·e^-x dx

                         = -e^-x -x²·e^-x + 2·x·(-e^-x) - 2·∫(-e^-x) dx

                         = -e^-x -x²·e^-x -2x·e^-x -2·e^-x + k

                         = -(x² + 2x + 3)·e^-x + k