Rumgeometri

Man kan så opstille fire ligninger til bestemmelse af de fire ubekendte: koordinaterne for kuglens centrum (a,b,c) og kuglens radius r.

Ja, og hvordan gør jeg så det? 

Sådan lyder opgaven:

Find en ligning for den kugle, der går gennem punkterne

A(2,10,4), B(4,8,6), C(5,9,4), D(0,-6,4)

#2

Kuglens ligning er

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

hvor (a,b,c) er koordinaterne for kuglens centrum, og r er kuglens radius.

Hvert af de opgivne punkter skal tilfredsstille kuglens ligning, så man får en ligning, der skal være opfyldt, for hvert af de fire punkters koordinatsæt.

For punktet A får man således ligningen

(2 - a)² + (10 - b)² + (4 - c)² = r²

Løs det system af fire ligninger, der fremkommer for de fire givne punkter.

Man bemærker i øvrigt, at tre af de fire punkter ligger i planen z = 4. Ligningssystemet får da den lidt simplere form:

(2 - a)² + (10 - b)² = r² - (4 - c)²
(5 - a)² + (9 - b)² = r² - (4 - c)²
(0 - a)² + (-6 -b)² = r² - (4 - c)²
(4 - a)² + (8 - b)² + (6 - c)² = r²

Trækker vi Ligning I fra Ligning II får vi

(7 -2a)·3 + (19 -2b)·(-1) = 0

og trækker vi Ligning III fra Ligning II får vi

(5 -2a)·5 + (3 -2b)·15 = 0 ,

dvs ligningssystemet

-6a +2b = -2
10a +30b = 70

eller

3a -b = 1
a + 3b = 7

eller a = 1 , b = 2

Dette indsættes i de to øvrige ligninger

r² - (4 - c)² = 65
r² - (6 - c)² = 45

hvoraf

(6 - c)² - (4 - c)² = 20 , eller

(10 -2c)·2 = 20 eller

c = 0

Endelig fås så

r² = 65 +42 = 81 = 9² , så

r = 9

Til #4

Det skulle være

r² = 65 + 4² = 65 + 16 = 81 = 9²