Planens parameterfremstilling

Jeg skal lige være sikker på: Giver denne opgave nogen mening eller er det en meningsløs opgave pga. manglende oplysninger?

Opgaven giver da mening, men der er jo mere end een korrekt løsning. Vektorerne p og q skal være to vektorer, der er lineært uafhængige, og som begge er vinkelret på normalvektoren n . Har man fundet en vektor p, der opfylder n•p = 0 , kan man passende vælge q = n×p .

Jeg synes det er lidt for besværligt. Jeg kender hverken vektor p eller q; det er 'svært' at finde vektor p, der opfylder det som du siger; n•p = 0. Altså .. hvordan skal p'et isoleres?

n•p = 0   , hvor p = (p₁;p₂;p₃)

3·p₁ + 4·p₂ + (-5)·p₃ = 0.

Hvordan kommer jeg så videre for at finde vektor p lidt mere præcist?

Hvis jeg nu bestemmer planens skæringspunkter med hver af de tre koordinatakser, får jeg så;

P₁(13/3 ; 0 ; 0)     P₂(0 ; 13/4 ; 0)     P₃(0; 0; -13/5)

#3

Man kan jo vælge værdier for p₁ og p₃ og så løse for p₂ . Sætter man p₁ = 5 og p₃ = 3 , kommer man hjem med p₂ = 0 , så en mulig vektor for p er

p = (5 , 0 , 3)

#5

Hvorfra kan man "vælge" værdier for p₁ og p₃ ? Du valgte p₁ = 5 og p₃ = 3. Er det bare, man skal gætte på uanset hvad så længe de to vektorer er ortogonale?

#4

Ja, det er tre punkter i planen. Man kunne så benytte P₁P₂ og P₁P₃ som de to vektorer.

#6

Jeg forsøgte at finde p₁, p₂, p₃, så n • p = 0 . Vælger man to af koordinaterne, følger den tredje så af sig selv.

Jeg vil gerne prøve at teste mig selv med andre tal.

n • p = 3·p₁ + 4·p₂ + (-5)·p₃ = 0.

Jeg vælger fx p₁ = 10

og p₂ = -6

så er p₃ dermed:

p₃ = (3·p₁ + 4·p₂)/5 = (3·10 + 4·-6)/5 = 1.2

p = (5 , 0 , 3) = (10 , -6 , 1.2) ?

#9

Så er p jo ikke (5 , 0 , 3), hvis den er (10 , -6 , 1.2) . Men du kan jo selv let prøve efter om

(10 , -6 , 1.2) • (3 , 4, -5) = 0 ?

#10

Det passer 100% korrekt, at  (10 , -6 , 1.2) • (3 , 4, -5)    giver 0.   (det med 10 og -6, har jeg selv gættet)

... samme gælder (5 , 0 , 3) • (3 , 4, -5) = 0.

Jeg fulgte bare efter det du sagde; "Jeg forsøgte at finde p₁, p₂, p₃, så n • p = 0 . Vælger man to af koordinaterne, følger den tredje så af sig selv."

#11

Ja, men protesterede mod at sluge det, du skrev i #9 :

p = (5 , 0 , 3) = (10 , -6 , 1.2) ,

for det er jo logisk vrøvl.

#12

Det er fordi, hvis p = (5 , 0 , 3)

og p = (10 , -6 , 1.2)

så er p = (5 , 0 , 3) = (10 , -6 , 1.2) ...

Hvilke af de to vektorer skal jeg så vælge? Er det ligegyldig?

Jeg ved godt, at jeg stiller for mange spørgsmål .. Men jeg vil gerne prøve at forstå bedre.

#13

Hver af de to vektorer (5 , 0 , 3) og ( 10, -6 , 1.2) er ortogonale til vektoren n . Men du kan ikke skrive

p = (5 , 0 , 3) = (10 , -6 , 1.2)

for det er noget vrøvl.

Der er uendeligt mange muligheder for de to vektorer p og q. De skal blot være lineært uafhængige og begge være ortogonale på n .

#14

Hmm .. Nice .. Det giver faktisk bedre mening.

Hvis jeg vælger  p = (5 , 0 , 3)

så må q = n×p = (12 ; -34 ; -20)

hvorfor må q ikke være lig med p×n ? Jeg ved godt, at man skal benytte vektorer rækkefølge, men hvordan kan man se, at n skal stå før p, og at de ikke skal byttes om?

Er svaret så til denne opgave  (x ; y ; z) = (x₀ ; y₀ ; z₀) + s·p + t·q   ⇔

(x ; y ; z) = (13/3 ; 0 ; 0) + s·(5 ; 0 ; 3) + t·(12 ; -34 ; -20) ?

Jeg er lige kommet i tanke om, hvad man kan fx bruge de to vektorer P₁P₂ og P₁P₃ i denne opgave til?

#15

Der er da heller ingen, der har sagt, at q ikke kan være p×n . Jeg angav en metode til at finde en vektor, vinkelret på n, som var lineært uafhængig af p . For en valgt vektor p er der stadig uendeligt mange muligheder for en lineært uafhængig vektor q . Det er heller ikke et krav her, at p og q er ortogonale på hinanden, kun at de er lineært uafhængige, så man kan udspænde den givne plan med de to vektorer. Bytter man om på vektorerne i krydsproduktet, skifter man fortegn på krydsproduktet. Hvis du genlæser #2, skrev jeg, at man passende kan vælge q på den måde; det var ikke formuleret som et krav.

Den angivne parameterfremstilling er en mulig parameterfremstilling for den givne plan.

De to vektorer P₁P₂ og P₁P₃ kunne også bruges som de to vektorer p og q i planens parameterfremstilling.

Sorry, jeg glemte at takke dig for din store hjælp.

Mange tak for hjælpen Andersen11. Det skal du bare vide. :)

#17

Velbekomme da.