Afstand mellem vektorfunktion og punkt

Beregn afstanden d mellem et vilkårligt punkt r(t) og det givne punkt:

D(t) = d² = (2sin(t))² + (sin(2t) + 0,1)² = 4·sin²(t) + sin²(2t) + 0,01 + 0,2·sin(2t)

og find så minimum for D(t) :

D'(t) = 8·sin(t)·cos(t) + 4·sin(2t)·cos(2t) + 0,4·cos(2t) = 4·sin(2t) + 4·sin(2t)·cos(2t) + 0,4·cos(2t)

og løs så ligningen

D'(t) = 0 , dvs

sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t) = 0

Find kvadratet på afstanden mellem det givne punkt P og et punkt på kurven r(t). Kald denne funktion d2. d2 er selvfølge en funktion af t. Find den værdi af t, der gør denne funktion mindst mulig ved at differentiere den og sætte resultatet 0.

Til #1

Ligningen

sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t) = 0

fører til en 4.-gradsligning i cos(2t), der har de to reelle løsninger

cos(2t) = 0,9987507816619434 og cos(2t) = -0,8431724754640248

#2

Det her er hvad jeg har gjort:

d(t)=√((x(t)-x0)^2+(y(t)-y0)^2)

d(t)=√((2*cos(t)-2)^2+(2*cos(2*t)-1.9)^2)

d'(t)=−4*(sin(2*t)*cos(2*t)-0.95*(sin(2*t)-0.52631578947368*sin(t)*(cos(t)-1)))/(√((cos(2*t))^2-1.9*cos(2*t)+(cos(t))^2-2*cos(t)+1.9025))

det her punkt synes jeg er meget forvirrende - det ser meget forkert ud; men det kan naturligvis også bare være mig

solve(−4*(sin(2*t)*cos(2*t)-0.95*(sin(2*t)-0.52631578947368*sin(t)*(cos(t)-1)))/(√((cos(2*t))^2-1.9*cos(2*t)+(cos(t))^2-2*cos(t)+1.9025))=0,t)

(cos(2*t))^2-1.9*cos(2*t)+cos(t)*(cos(t)-2)=∞ or t=−61.10935663767 or t=−6.4371042779187 or t=−6.2831853071796 or t=−4.5606888730516 or t=−3.7205037297977 or t=−3.1415926535898 or t=−1.722496434128 or t=−0.15391897073726 or t=0. or t=0.15391897073726 or t=1.722496434128 or t=3.1415926535898 or t=3.7205037297977 or t=4.5606888730516 or t=6.2831853071796 or t=6.4371042779187 or t=61.10935663767

Hvad gør jeg galt her :) ? 

#1 & #3 du får et cos(2t) resultat ud, og hvis jeg isolerer t her, får jeg nogle mystiske resultater. :S

#4

Det er jo alt for besværligt at regne med funktionen d(t). At finde minimum for d(t) er det samme som at finde minimum for kvadratet på afstanden, som jeg kaldte D(t) i #1.

jeg finder, at D'(t) = 0 resulterer i, at cos(2t) skal være en rod i 4.-gradspolynomiet

x⁴ + 2x³ +0,01x² -2x -1 = 0

Det har de to reelle rødder nævnt i #3.

"D'(t) = 8·sin(t)·cos(t) + 4·sin(2t)·cos(2t) + 0,4·cos(2t) = 4·sin(2t) + 4·sin(2t)·cos(2t) + 0,4·cos(2t)

og løs så ligningen

D'(t) = 0 , dvs

sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t) = 0"

Hvorfor er D'(t) ikke lig 4·sin(2t) + 4·sin(2t)·cos(2t) + 0,4·cos(2t) men sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t) = 0? 

#7

Jeg dividerede ligningen med 4 for at få den til at se lidt simplere ud.

Der står jo ikke til sidst, at D(t) er lig med sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t)

Slettet

Så du bruger afstandsformel for et punkt og en banekurve, reducerer den, differentierer den og reducerer igen.

Jeg er noget forvirret over hvordan du kommer frem til, at det bliver til et fjerdegradspolynomium.

#10

Jeg bruger kvadratet på afstanden. At finde minimum for afstanden er den samme opgave som at finde minimum for kvadratet på afstanden.

Ligningen, der skal løses er

sin(2t) + sin(2t)·cos(2t) + 0,1·cos(2t) = 0 , eller

sin(2t)·(1+ cos(2t)) = -0,1·cos(2t) .

Kvadreres ligningen fås

sin²(2t) · (1 + cos(2t))² = 0,01·cos²(2t) , eller

(1 - cos²(2t)) · (1 + cos(2t))² = 0,01·cos²(2t)

Sætter man heri x = cos(2t) , fås

(1 - x²) · (1 + x)² = 0,01·x² , der let reduceres til

x⁴ + 2x³ +0,01x² -2x -1 = 0

Jeg finder den mindste afstand til d_min = 0,070722

Okay, så langt så godt, men hvordan får du lavet dit x=−0.84317247506908 or x=0.99875078173736 om til 0,070722 =) ?

#12

Vi har, fra #1, at

D(t) = d² = 4·sin²(t) + sin²(2t) + 0,01 + 0,2·sin(2t)

                = 2·2·sin²(t) + sin²(2t) + 0,01 + 0,2·sin(2t)

                = 2·(1 - cos(2t)) + 1 - cos²(2t) + 0,01 + 0,2·sin(2t)

                = 3,01 -2·cos(2t) - cos²(2t) ± 0,2·√(1 - cos²(2t))

Tilbage er at indsætte cos(2t) = 0.99875078173736 og udregne de to mulige værdier for D(t) , og indsætte cos(2t) = −0.84317247506908 og udregne de to mulige værdier for D(t), udragne kvadratrødderne og udvælge den mindste værdi.

Jeg siger mange tak for hjælpen! Fortsat god aften :)