kortest afstand fra punkt til linje

Jeg tror, at du skal bestemme en cirklens ligning, for y > 0. Og bestemme også en forskrift for en linje (skråstag) til højre. Dernæst, skal de to funktioner trækkes fra hinanden, får du en bestemt funktion. Og du finder nu f '(x) = 0 ⇔ x = ... Og sæt det på x'ets plads på den bestemte funktion, f(x) = a.

Kalder vi cirklens radius for r = 30cm, er cirklens centrum og liniestykket a dele af en retvinklet trekant med hypotenusen 0.85 og hvis ene katete er (r+a) , og denne trekant er ensvinklet med en retvinklet trekant, hvis to kateter er 2,0 og 2·0,85 . Der gælder derfor

(r+a) / 0,85 = 2·0,85 / (2,0² + (2·0,85)²)^1/2

Beregn nu a .

Hvorfor skal de to funktioner trækkes fra hinanden ? 

og kan Andersen11 ikke uddybe en lille smule, jeg har lidt et problem med at se hvilke trekanter du snakker om. :D

#3

Den lille trekant har punkter i den store trekants toppunkt, cirklens centrum, og der, hvor den vinkelrette fra cirklens centrum på den ligebenede trekants ben skærer denne. Den anden trekant fremkommer af den store ligebenede trekant ved at nedfælde højden i denne (gennem cirklens centrum).

Det vil så sige

a = [ 2·0,85² /  (2,0² + (2·0,85)²)^1/2 ] - 0,30 ≈ 0,2505

Hvordan er du sikker på at det er den mindste afstand ? 

 

Yesmee: 

kommer forskrifterne ikke til at hedde: 

cirkel: (x-2)^2+(y-0.85)^2=30^2

og linjen: y=-0.85*x+0

#5

Den mindste afstand fra et punkt til en linie findes netop ved at nedfælde den vinkelrette fra punktet på linien og beregne længden af liniestykket fra punktet til den vinkelrettes fodpunkt på linien.

#5

Jeg er ikke selv sikker på om det er rigtigt eller ej.

Hvis f(x) = -0.85x + 1.7   og   g(x) = √(0.09 - x²) + 0.85

så, h(x) = f(x) - g(x)

h '(x) = 0 ⇔ x = 0.194295

Mindste længde er;   a = h(0.194295) = 0.456268 m ≈ 45.63 cm

#8

Kald den store trekant på din tegning for ABC, hvor B er trekantens toppunkt, og AB og BC er de lige store sider i trekanten. Nedfæld højden fra B på AC, og kald højdens fodpunkt på AC for D. Kald cirklens centrum for P og nedfæld den vinkelrette fra P på siden BC, og kald den vinkelrettes fordpunkt på BC for F.

Det fremgår da, at trekant BPF er retvinklet med hypotenuse 0,85 og den ene katete (r+a) . Tilsvarende er trekant BDC retvinklet med kateterne 2·0,85 og 2,0 , og de to trekanter BPF og BDC er ensvinklede. Heraf følger udregningen i #2.

jaaaa, nu forstå jeg det :D 

men desværre taber jeg den lidt igen på udregningen.

du bruger pythagoras ikke, men hvad gør du så :D 

beklager hvis jeg virker uforstående. 

Hvis man endelig vil benytte funktionsforskrifter, kan man benytte et koordinatsystem med begyndelsespunkt i fodpunktet for trekantens højde (altså den store trekant ABC). I dette koordinatsystem har det højre trekantben ligningen

y = 1,7 - (1,7/2,0)x , eller

1,7x + 2,0y - 3,4 = 0

Cirklens centrum har koordinaterne (0 ; 0,85). Opgaven drejer sig om at bestemme afstanden fra cirklens centrum til den rette linie, og så trkke cirklens radius fra resultatet. Afstanden fra cirklens centrum til den rette linie er

d = |2,0·0,85 -3,4| / √(1,7² + 2,0²) = 1,7 / √(1,7² + 2,0²) = 0,647648

hvorfor

a = d - r = 0,347648

Uoverensstemmelsen med #2 og #4 ligger i en fejl i #2, idet det skal være

(r+a) / 0,85 = 2,0 / (2,0² + (2·0,85)²)^1/2 ,

hvorfor

a = [ 2,0·0,85 / (2,0² + (2·0,85)²)^1/2 ] - 0,30 = 0,347648

Enhederne for længderne er overalt m .

Du kan også forestille dig, at der er ensvinklede trekanter til højre af trekantens halvdel, hvor

(r + a)/0.85 = x/(2·0.85)

   hvor du finder x'et;

      tan(θ) = ((2·0.85)/2)  ⇔  θ = tan^-1((2·0.85)/2)

         og cos(θ) = (2/2)/x  ⇔ x = (2/2)/cos(θ) = (cos(θ))^-1

dermed

(r + a)/0.85 = x/(2·0.85) ⇔ (r + a)/0.85 = (cos(θ))^-1/(2·0.85)

så får man, at a = 0.35622

#12

Det er for så vidt samme fremgangsmåde som beskrevet i #2, og med den samme fejl begået, som jeg også begik i #2, og som blev rettet i #11 .

#12

Hvis du holder fast ved vinklen θ bestemt ved

tan(θ) = 2·0,85 / 2,0

har man i den lille trekant

cos(θ) = (r+a) / 0,85 ,

og dermed

r+a = 0,85 · cos(θ) = 0,85 / √(1 + tan²(θ)) = 0,85 / √(1 + 0,85²) = 0,647648 , så

a = 0,347648

#13

Ja, det har jeg bemærket det.

#14

Rigtig smart, og enkelt.

Tusind mange tak for hjælpen, jeg værdsætter virkelig jeres hjælp...