Bevis for separation af variable

Det er nødvendigt for mig at inkludere beviset i min SRO, men det fylder enormt meget.

Nedenstående giver måske ikke meget mening med de dårlige tegn, men måske en idé over hvor langt det er.
Mon nogen mulighed for at det kan skrives meget kortere?
Jeg skriver om reaktionskinetik så skal benytte det, samt differentiale løsningsformler og differentiering af sammensattefunktion i teorien for at kunne beregne på forsøgene. Alle de andre har jeg.

Man benytter separation af de variable til at løse differentialligninger af typen:
dy/dx=g(y)·h(x). Her er g og kendte, mens y = f(x) skal findes.
Sætning:  Lad h(x) være kontinuert i intervallet I, og lad g(y) være kontinuert og forskellig fra nul i intervallet J. Der gælder så at:
Hvis f(x) er løsning til       dy/dx=g(y)·h(x)
Så er f(x) også løsning til: ∫¦?1/(g(y)) dy=∫¦h(x)dx?
Bevis: Jeg antager at betingelserne er opfyldt. Dermed har h en stamfunktion H:
H(x)=∫¦?h(x)dx  eller  H^' (x)=h(x)?
På samme måde som med h, så har g også en stamfunktion, nemlig G.
?(G(y))?^'=G^' (y)·y^'=  1/(g(y))·dy/dx          Trin 1
Jeg tager fat i den oprindelige ligning:
dy/dx=g(y)·h(x)
Herfra divideres der med G(y) på begge sider af lighedstegnet:
1/(g(y))·dx/dy=h(x)
Herefter benyttes trin 1:
?(G(y))?^'=h(x)
Benytter herfra at h(x) = H’(x):
?(G(y))?^'=H^' (x)
Trækker H’(x) fra på begge sider:
?(G(y)-H(x))?^'=O
Integrerer (G(y)-H(x)) og får dermed en konstant ovre på modsatte side:
G(y)-H(x)=k
Lægger H(x) til på begge sider:
g(y)=H(x)+k?∫¦?1/(g(y)) dy=∫¦?h(x)??