Matematik

Bestem rumfanget af pyramiden ABCDT

26. marts 2012 af Hej2012 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg har problemer med opgave c

Jeg ved ikke helt hvordan jeg skal finde højden h?

Vedhæftet fil: Opgave 1.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. marts 2012 af PeterValberg

Hvis du tænker dig punktet E værende skæringspunktet mellem diagonalerne i grundfladen,
så vil højden være længden af vektoren ET

For at bestemme koordinaterne til E, må du have gang i lidt vektorregning, -fx:

OE = OA + ½·AC

hvor O er origo (koordinatsystemets nulpunkt)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #2
26. marts 2012 af Singlefyren (Slettet)

Man kan også finde koordinaterne til omtalte E ved at tage gennemsnittet af koordinaterne til B og D.

Hvordan ved man at pyramiden ikke er skæv? dvs. at højden rammer i skæringspunktet?

Er det mon en forudsætnng for at være en pyramide?

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#1 Jeg sidder med samme opgave og jeg har forsøgt at gøre som du skriver i #1, men jeg får desværre et forkert facit.

Jeg har gjort sådan her $\underset{OE}{\rightarrow}=(6,0,2)+\frac{1}{2}*(-2,10,2)=(5,5,3)$

$\underset{ET}{\rightarrow}=(6,8,22)-(5,5,3)=(1,3,19)$

$V=\frac{1}{3}*(1,3,19)*(5,5,3)=\frac{77}{3}=25,7$

Kan du hjælpe mig med opgaven? Hvad er det som jeg gør forkert? Jeg får nemlig et forkert facit.

Facit: Arealet af parallelogrammet = 240.

PÅ forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #4
29. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Er der andre, der måske kan hjælpe?

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Er der ingen, der kan hjælpe mig? Jeg har siddet fast i denne opgave i så lang tid og jeg bliver ved med at få et forkert facit.

Håber der er en, der kan hjælpe - på forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #6
29. januar 2018 af Soeffi

#5

Du skal finde arealet af ABCD som længden af BAxBC. Dernæst skal du finde afstanden mellem T og den plan som ABCD ligger i for at finde højden (det er en skæv pyramide).

Brugbart svar (0)

Svar #7
30. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Jeg får nu $V=\frac{1}{3}*(1,3,19)*(-36,0,-36)=-240$

Facit er $V=240$

Er der nogle, der kan fortælle mig, hvad der er som jeg har gjort forkert?

Brugbart svar (0)

Svar #8
30. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

Er der er ikke en, der kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. januar 2018 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#9.

Jeg har bestemt rumfanget i #7, men jeg forstår ikke, hvorfor jeg får -240?

Facit er nemlig positivt, altså 240.

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. januar 2018 af Mathias7878

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. januar 2018 af mathon

$\small \overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix} 4-8\\10-8 \\ 4-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\2 \\ 4 \end{pmatrix}$ $\small \overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} 6-8\\0-8 \\ 2-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\-8 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\small \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix} 36\\-16 \\ -28 \end{pmatrix}$

$\small \left |\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BA} \right |=\sqrt{36^2+16^2+28^2}=4\sqrt{146}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. januar 2018 af DeDejligePeberkagerfraHakkebakkeskoven

Du tager krydsproduktet, ikke? Hvis du finder det i den modsatte rækkefølge BC x BA, burde du få normalvektoren i den modsatte retning, og få et positivt resultat.

Brugbart svar (0)

Svar #14
30. januar 2018 af annahansen2 (Slettet)

#11 Numerisk værdi vil det sige, at jeg skal fjerne minus foran 36 og 36?

Det har jeg lige gjort også får jeg er positivt resultat der passser med facit

Brugbart svar (0)

Svar #15
30. januar 2018 af Mathias7878

Det gør man vist ikke alligevel. Men prøv at byt rundt på rækkefølgen som skrevet i #13.

- - -

Brugbart svar (0)

Svar #16
30. januar 2018 af mathon

$\small \small \textup{T's afstand til }\alpha\; h_{pyr} \textup{ beregnes til }\frac{124}{\sqrt{146}}$

$\small \small \textup{Arealet af parallellogrammet ABCD}=\small \left |\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BA} \right |=4\sqrt{146}$

$\small \textup{Pyramidevolumen: }$
$\small V_{\textup{ABCDT}}=\tfrac{1}{3}\cdot \frac{124}{\sqrt{146}}\cdot 4\cdot \sqrt{146}=162{.}\bar 3...$

Brugbart svar (0)

Svar #17
30. januar 2018 af mathon

$\small \textup{Korrektion af afstandsberegning punkt-plan: }$

$\small \textup{T's afstand til }\alpha\; h_{pyr} \textup{ beregnes til }\frac{100}{\sqrt{146}}$

$\small \textup{hvoraf:}$

$\small \small \textup{Arealet af parallellogrammet ABCD}=\small \left |\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BA} \right |=4\sqrt{146}$

$\small \textup{Pyramidevolumen: }$
$\small V_{\textup{ABCDT}}=\tfrac{1}{3}\cdot \frac{100}{\sqrt{146}}\cdot 4\cdot \sqrt{146}=133{.}\bar 3...$

Brugbart svar (0)

Svar #18
30. januar 2018 af Soeffi

#7

Den metode, som du bruger er faktisk tæt på at være rigtig, selvom jeg ikke havde tænkt på det. Jeg troede, at man først skulle finde grundarealet, dernæst højden ud fra fodpunktet og til sidst gange produktet af de to med en tredjedel.

Nu kan jeg se at det eneste, som du behøver, er at tage |XT·(BAxBC)|, og gange dette med 1/3. Her er X et punkt i det plan (α), hvor grundfladen ligger, og man kan vælge X = A. Dermed er rumfanget af pyramiden (uanset om den er skæv eller lige): (1/3)·|AT·(BAxBC)|.

Forklaringen er: Højden er lig med længden af projektionen af en vektor, der forbinder grundfladens plan (α) med toppunktet (T), på en normalvektor til planen. Den førstnævnte vektor vælges her til at være AT. Normalvektoren kan med fordel vælges til at være BAxBC (dvs. krydsproduktet af to vektorer, der udspænder grundfladen).

Dvs. højden er:

$\frac{\overrightarrow{AT}\cdot(\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}) }{\left | \overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right |^2} \cdot \left |\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right | = \frac{\overrightarrow{AT}\cdot(\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}) }{\left | \overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right |}$

Da BA og BC udspænder grundfladen gælder samtidig, at grundfladens areal er

$\left | \overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right |$

Dermed er pyramidens rumfang = (1/3)·højde·grundflade =

$\frac{1}{3}\cdot \frac{\left | \overrightarrow{AT}\cdot(\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC})\right | }{\left | \overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}\right |} \cdot \left |\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC} \right | = \tfrac{1}{3}\cdot \left | \overrightarrow{AT} \cdot (\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}) \right |$

Med tallene indsat får man, at rumfanget er:

$\tfrac{1}{3}\cdot \left | \overrightarrow{AT} \cdot (\overrightarrow{BA}\times \overrightarrow{BC}) \right | =\tfrac{1}{3}\cdot \left | \begin{pmatrix} 0\\ 8\\ 20 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -36\\ 0\\ -36 \end{pmatrix} \right | = \tfrac{1}{3}\cdot 20 \cdot 36 = 240$

Brugbart svar (0)

Svar #19
30. januar 2018 af mathon

$\#18\textup{ er \textbf{helt} korrekt. Jeg havde i farten heller ikke taget h\o jde for den "sk\ae ve" pyramide og indset,}$
$\textup{ at man skal bruge rumproduktformlen. }$

Brugbart svar (0)

Svar #20
30. januar 2018 af mathon

$\tfrac{1}{3}\cdot\left |\overrightarrow{AT}\cdot \overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BA} \right |=\tfrac{1}{3}\cdot\begin{Vmatrix} 0 &8 &20 \\ -4&2 &4 \\ -2 &-8 &2 \end{Vmatrix}=$

$\tfrac{1}{3}\cdot \left | 0\cdot 2\cdot 2+8\cdot 4\cdot (-2)+20\cdot (-4)\cdot (-8) -(-2)\cdot 2\cdot 20- ( -4) \cdot 8\cdot 2-0\cdot (-8)\cdot 4 \right |=$

$\tfrac{1}{3}\cdot \left | 0-64+640+80+64 \right |$

$\tfrac{1}{3}\cdot 720=240$

Skriv et svar til: Bestem rumfanget af pyramiden ABCDT

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.