Integration

Hvad er f(z) ?. Kan vi ikke få hele opgaven

Ser ved første øjekast ud til at du skal rotere et 3-dimensionel fladeudsnit rundt om z- eller x-aksen. ?

Det ligner volapyk, men prøver alligevel kamikaze-style...

∫ (x^2+y^2) dz    giver på lommeregner =    z*(x^2 + y^2)

Dette er det ubestemte integrale

Så giver det hvis man ganger med pi og sætter intervallet ind for z:

 pi * (b - a) * (x^2 +y^2)

Jeg ved ikke om man i stedet skulle sætte kvadratrod(x^2 + y^2) lig hhv.b og a ved overgangen fra det ubestemte til det bestemte integrale?

Gad vide om opgaven burde hedde dx isf. dz?   ∫ (x^2+y^2) dx    hvor svaret giver: pi * (b - a)*y^2 + (b^3 - a^3) / 3

http://da.wikipedia.org/wiki/Omdrejningslegeme

opgaven virker lige så udtryks-lingvistisk forvirende som denne lignende 2 dimensionelle : https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1170466

...Er det en hjemmelavet opgave? en uddelt defineret skoleopgave? En caseopgave?

Ligner at man forsøger en 2D formel (se wiki-link) på en 3D flade.

Kan man overhovedet rotere et fladeudsnit om en akse og med hvilken grund?

Jeg gennemskimmede min bog Matematik for ingeniører Bind 2 (Hellesen et al, 1999), som gennemgår alt om 3D-flader: afsnittene om fladeintegraler, kurveintegraler, rumintegraler, fladeareal og planintegraler, men kunne ikke finde noget hvor denne omdrejningsformel anvendes på 3D.

Det er en caseopgave..

Opgaven går ud på at man skal vise at ∫∫∫1dv = π* ∫ f^2 (z)dz

 π* ∫ f^2 (z)dz, hvor grænserne er a og b.

a ≤ z ≤ b og √(x^2+y^2 ) ≤ f(z)

Jeg har omskrevet ∫∫∫1dv til cylinderkoordinater og får at pi *(b-a)

Kan bare ikke finde ud af, hvordan det bliver lig med π* ∫ f^2 (z)dz?

Rumintegral opløst ved cylinderkoordinater:

Se evt.

https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=1161856

∫ ∫ ∫ f(x,y,z) dV  =  ∫ ∫ dA  ∫ f(x,y,z) (fra a til b) dz  

CylinderVolumen = h*A , =  (b-a)*A  =   ∫ A dz     ...dvs.

Cylinderens tværsnitsAreal integreres for hele z, dvs. fra a til b.

Cylinderens tværsnitsAreal = pi* radius^2

V = ∫ pi*radius^2 dz  =  pi* ∫ f (z) ^ 2 dz

idet   Radius^2  =    x^2 + y^2     =   f (z) ^ 2  ???passer det???

Det drejer sig åbenbart om at finde rumfanget V af det omdrejningslegeme, der fremkommer ved at dreje grafen for funktionen f(x) , a ≤ x ≤ b , i alt 360º omkring x-aksen, og dette er

V = π · _a∫^b (f(x))² dx .

Tilsyneladende skal det gøres som et volumenintegral, hvor man skal integrere 1 dV over omdrejningslegemets volumen, hvor dette er defineret ved

V: a ≤ z ≤ b , og for fast z er 0 ≤ r = (x²+y²)^1/2 ≤ f(z) , så

V = ∫∫∫_V 1 dV = _a∫^b ₀∫^f(z) ₀∫^2π 1·r dθ dr dz

                      = _a∫^b ₀∫^f(z) 2π r dr dz

                      = _a∫^b π [ r² ]^f(z)₀ dz

                      = π · _a∫^b (f(z))² dz

Opgaven går sikkert ud på at vise formlen for rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning af grafen for en funktion omkring x-aksen.

Billede vedhæftet.

.

#10

Det er ikke en cylinder, man finder rumfanget af. Figurens radius i (x,y) udstrækningen varierer med z i henhold til funktionen f(z) .