Tangent til ligningen

Bestem først ligningen for tangenten til grafen for f(x) i punktet P(a , f(a)) . Bestem så tangentens akseskæringspunkter.

Det er ikke en tangent til en ligning du skal finde. Sådan noget findes nemlig ikke. Du skal finde ligningen for en tangent til grafen for en funktion f(x) i (x₀, f(x₀)) Ligningen bliver

y = f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)

i opgave b skal du erstatte x₀ med a  og løse den fremkomne ligning for henholdsvis x = 0 og y=0

f ' = 2a-6
 

y - y0 = f ' *(x-x0)
 

y-f(a) = (2a-6)(x-a)
 

y-(a-3)^2 = 2ax-2a^2-6x+6a
 

y = 2ax-2a^2-6x+6a+a^2-6a+9
 

y = (2a-6)x+(9-a^2) = 9-a^2 for x=0
 

x=(a^2-9)/(2a-6) for y = 0
 

Q = (0 , 9-a^2)
 

R = ((a^2-9)/(2a-6) , 0)

------------------------------
 

T'(a) = (gang ud og differentiér) = -(3a^2)/4 - 3a/2 + 9/4 = 0
 

a = (-3) og 1
 

Dvs. T(a) = 8 er maksimum for a = 1

;-)

#3

Eftersom funktionen T(a) er defineret på et afsluttet interval [0 ; 3], er det ikke tilstrækkeligt blot at løse ligningen T'(a) = 0 og finde en løsning til denne ligning i intervallet [0 ; 3] . En fortegnsundersøgelse for T'(a) vil vise, at der er lokalt maksimum for funktionen for a = 1 , og en beregning af funktionsværdierne T(0) og T(3) i intervallets endepunkter afslører så endegyldigt, at funktionen vitterligt antager sit maksimum for a = 1.

Naturligvis er dette undersøgt - men jeg vurderede, at den diskussion ikke i praksis forventedes,

at være en del af opgaven -

overskriften er umulig:

           en ligning har ingen tangent

men
          ligningens graf har evt. en tangent.

# 6

- Helt korrekt - men det er påtalt allerede i # 2   ;-)