Differentialligninger og en vinkel

 Grafen for f(x) går gennem punkterne (-1,e) og (1,e)

Undskyld (1,e) og (-1,e)

De "2" punkter er samme punkt. Hældningerne af tangenten er dy/dx og dy/dx i punkterne kan du finde ved at sætte dem ind i højre side. Du behøver ikke løse differentialligningen

#2

Benyt differentialligningen til at beregne hældningskoefficienten dy/dx for tangenten til grafen for f(x) i de to punkter.

Hvordan kan man sætte de to punkter ind i en formel, og finde hældningskoefficienten?

Jeg ved ikke om du kender programmet Ti-Nspire, men hvis du gør, kan man så ikke desolve den?

for
       (-1,e)  
                      dy/dx = -2·(-1)·e = 2e

for
       (1,e)  
                      dy/dx = -2·1·e = -2e

#5

Fordi f(x) er en løsning til differentialligningen dy/dx = -2x·y , gælder der for ethvert x, at

      f '(x) = -2x·f(x) .

Grafen for f(x) går gennem punktet (1,e), så det vides, at f(1) = e , og dermed at f '(1) = -2·1·f(1) = -2e .

En tilsvarende betragtning kan benyttes for x = -1 .

Okay, det forstår jeg godt.

Når man så skal finde en vinkel mellem de to tangenter, hvilken formel kan man så bruge?

#8

Benyt, at hældningskoefficienten er lig med tangens til den vinkel, som tangenten danner med x-aksen.

Eller find vinklen mellem de to vektorer (1 , f '(1)) og (1 , f '(-1)) .

                           tan(δ) = |-2e - 2e| / |1 + (2e)·(-2e)|

                           tan(δ) = 4e / (4e²-1)

                           δ = tan^-1(4e / (4e²-1)) = 20,84º

Jeg kan godt se hvad du har gjort #10, men det er hvorfor du vælger den formel, og kan du evt. skrive formlen op som den oprindeligt ser ud?

#9 Ville du så regne prikproduktet ud, og derefter længden og så sætte det ind i formlen cos(v)=(a*b)/(ιaι*ιbι)

#12

Ja, det er da også en brugbar fremgangsmåde. Den spidse vinkel mellem vektorerne vil så være supplementvinklen til den fundne vinkel.

hvordan finder man en supplementvinkel?

Hvad kunne man ellers gøre?

#14

Supplementvinklen til en vinkel v er 180º -v . To vinkler kaldes supplementvinkler, hvis deres sum er 180º .

                  cos(δ) =( [1,2e]·[1,-2e]) / (1+4e²)

                  cos(δ) = (1-4e²) / (1+4e²)

                  δ = cos^-1((1-4e²) / (1+4e²)) = 159,16º

                  δ_spids = 180º - 159,16º = 20,84º

#14

"Hvad kunne man ellers gøre?" Hvad mener du? Du har fået to forskellige fremgangsmåder til at beregne vinklen. Hvor mange skal du bruge?

Mathon har benyttet, at hældningskoefficienten for en ret linie er lig med tangens til den vinkel α , som tangenten danner med x-aksen, og at de to tangenter ligger symmetrisk på hver side af x-aksen, hvorfor man kan benytte formlen for tangens til den dobbelte vinkel til at finde vinklen mellem de to tangenter, som det er vist i #10.

Jeg foreslog at bestemme vinklen som vinklen mellem de to vektorer (1 , 2e) og (1 , -2e) , dvs

cos(v) = (1 -4e²) / (1 + 4e²)

@#11

         for linjerne
                                   y = a₁x + b₁     tan(v) = a₁
                                   y = a₂x + b₂     tan(u) = a₂

for
               δ = u - v  
har du
                                  tan(δ) = tan(u-v) = tan(u)-tan(v) / (1+tan(u)•tan(v))

                                  tan(δ_spids) = | a₂ - a₁ / (1+a₂•a₁) |

                                  tan(δ_spids) = |a₂ - a₁| / |1+a₂•a₁|                             da |a/b| = |a| / |b|