Bestemmelse af Q og R (svær)

f(x) = x² - 6x + 9

Tangenthældning = f¨' (x) =  2x - 6

I punktet P er x=a, og f(x) er derfor lig f(a) = (a-3)²

skæring på y-aksen = y_p - tangenthældning * x_p

                                 =  f(a) - f ' (a) * a

                                =  (a-3)² - (2a-6) *a

                                = a² - 6a + 9 - (2a²-6a)

                                = 9 - a²

               Altså skæring i Q =(0 , 9-a²)

Meget godt svar! Men hvad med R, hvor den skærer 1. aksen?

Skæring med x-aksen  =  x_p - y_p / tangenthældning

                                     =  a  - f(a)² / f ' (a)

                                     = a - (a-3)² / (2a-6)

                                     = a - (a-3)² / 2(a-3)

                                     = a - (a-3)/2

                                      = 1/2*a² + 3/2

             Altså skæring i R= (1/2a²+3/2, 0)

Og så vidt jeg husker beder opgaven herefter om at finde det største areal?

Du finder A = 1/2 *R_x * Q_y

og finder maximum når A '(x)= 0

#2

Da f(x) = (x-3)² , er f '(x) = 2·(x -3) . I punktet P(a , f(a)) har tangenten derfor ligningen

y = 2·(a - 3)·(x - a) + (a - 3)² = (a - 3)·(2x -a -3) .

Ved skæring med y-aksen er x = 0 , hvorfor punktet Q har koordinaterne

Q(0 , -(a-3)(a+3)) .

Ved skæring med x-aksen er y = 0 , hvorfor x-koordinaten for R findes ved at løse ligningen

(a - 3)·(2x₀ -a -3) = 0 , dvs

a = 3 ∨ x₀ = (a+3)/2  .

Hvis a = 3 , falder tangenten sammen med x-aksen. Hvis a ≠ 3, skærer tangenten x-aksen i punktet

R((a+3)/2 , 0)

#3

Du forkorter rask væk med a-3 og overser derfor tilfældet, hvor a = 3 .

I øvrigt er det ikke korrekt med (1/2)a² +(3/2) som x-koordinaten, når a ≠3 , da a - (a/2) = a/2 , ikke (1/2)a² .

Skrive fejl i mit svar #3... i linje 2, 6 og 7 skal stå a og ikke a²

#6  I oprindelige opgavetekst er defineret at 0 < x < 3.  Det burde have stået et sted.

#3

OK, jeg ser nu, at det forudsættes , at 0 ≤ a < 3 , hvorfor det er tilladt at forkorte med a-3 . Det endelige udtryk er dog ikke korrekt, som anført i #6 og justeret i #7.

Ja det skal rettes :D