Areal af femkant

Da femkanten er regulær kan du se det som 5 ligebenet trekanter med samme areal. Grundlinjen er 7 centimeter, og hvis du finder vinklerne ud fra vinkelsummen i femkanten kan du bestemme højden med tangens

b) ser ud til at være korrekt.

c) ser mystisk ud.

Hver af vinkler i 5-kanten er 3·180·/5 = 108º . Punktet E har koordinaterne E(7 ; 0) . Punktet D har derfor koordinaterne

D(7 + 7·cos(72º) ; 7·sin(72º)) ≈ (9,1631 ; 6,6574)

Punktet B har koordinaterne

B(7·cos(108º) ; 7·sin(108º)) ≈ (-2,1631 ; 6,6574)

Punktet C har så koordinaterne bestemt ved

AC = AD + 7·(cos(144º) ; sin(144º)) ≈ (3,5 ; 10,7719)

d) Punktet O er tyngdepunktet for 5-kanten, og dets koordinater er derfor gennemsnittet af de fem punkter A, B, C, D og E's koordinater.

Til #2

Punktet O's koordinater kan også bestemmes ud fra den ligebenede trekant AOE, der har de to lige store vinkler 54º ved grundlinien og en topvinkel på 360º/5 = 72º .

O(3,5 ; (7/2)·tan(54º)) = (3,5 ; 4,8173)

Skitse vedhæftet

E = (7,0)

x(D) = 7 + DE*cos(360/5) = 7 + 7*cos72 = 9,163

y(D) = 7*cos(90-72) = 6,657

D = (9.16 , 6.66)

x(C) = AE/2 = 3,5

y(C) = y(D) + CD*cos(108/2) = 10,772

--------------------------------------

Centrum for cirklen er skæringspunktet ml. x = 7/2 og

linien y = (tg54)*x = (tg54) * 7/2 = 4,817

O = (7/2 , 4,817)

;-)

b)  Ja undskyld, men jeg får altså ikke siderne til at være 7 cm, men 7.8 cm

      Den skal skæres ud af kvadrat på 12 x 12 cm, dvs. 5-kantens højde fra grundlinje til top er 12.

      Hvis vi kalder højden fra grundlinjen AE til O for h, har vi at l CO l = 12-h

     Laver vi en retvinklet trekant mellem C, O og midtpunktet på CD, kan vi bruge pythagoras...

     h² + (0.5side)² = (12-h)²   =>    h = (144 - 0.25side²) / 24

    Arealet = 5 trekanter = 5 * 1/2 * side * h

    Ved opslag på http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagon fås

    Arealet = 1.720477*side²

    Sættes de to udtryk for areal sammen fås:

    1,720477 * side²  =  5 * 1/2 * side * h        

    1,720477 * side²  =  5 * 1/2 * side * (144 - 0.25side²) / 24

    Løses som ligning mht. side, og giver at side = 7.8 cm

    sat ind i arealformlen fås, Areal = 104.6 cm2

    Opgavens løsning bliver altså 104.6 / 144 * 100% =  72,65 %

#6

Sidelængden er angivet til 7 cm på en af figurerne i opgaven.

til svar #2

Jeg forstår ikke rigtigt hvordan du kan regne kordinaterne ud på den måde?

Til @Andersen11

Jeg forstår stadig ikke rigtigt hvordan opgave D, skal løses? Hvorfra ved med at x er 3.5? Og hvordan har du fundet ud af at de giver 54grader?