Analytisk geometri i 3D

Beregn afstanden fra centrum til planen. Denne afstand er kuglens radius. Forkort planens ligning med 4, så det er nemmere at arbejde med:

6x + 2y + 3z -12 = 0

Find afstanden fra O til planen. Det er radius i kuglen

#1 Du har flere gange rådet mig til at forkote planens ligning med et tal. (I dette tilfælde er det dog lidt ligegyldigt, da punktet alligevel er 0,0,0). Jeg kom dog til at tænkte på, hvordan man vide hvilket tal alle ens ligningsdata kan gå op i? Her er det forholdsvist let at se, at man kan forkorte med 1/4. Men er der en bestemt metode?

#3

Når man, som her, har en ligning for en plan med heltallige koefficienter, er det nærliggende at dividere ligningen med den største heltallige faktor, der går op i alle koefficienterne.

Ligningerne

ax + by + cz + d = 0 og

k·ax + k·by + k·cz + k·d = 0 (hvor k ≠ 0)

fremstiller jo den samme plan, men den første ligning er da simplere at arbejde med.

Ovenfor forkortede jeg med 4, ikke med 1/4 .

Der er ikke noget krav om at man skal gøre det; men det giver simplere tal at arbejde med.

På samme måde, når man bestemmer normalvektorer til en plan, er det simplere at arbejde med vektoren [1;2;3] end med vektoren [700; 1400 ; 2100]; de to vektorer specificerer den samme retning i rummet, men man har bedre overblik med de mindre tal.

Jeg vil da ikke sige, at det er helt lige gyldigt her, for man skal jo beregne √(a² + b² + c²) , og det er da lidt lettere med sættet (a;b;c) = (6 ; 2 ; 3) end med sættet (a;b;c) = (24 ; 8 ; 12) .

#4

Du skriver:

".. er det nærliggende at dividere ligningen med den største heltallige faktor, der går op i alle koefficienterne."

Mit spørgsmål går da på, hvordan man kan vide dette? 

#5 - du bruger dine tabeller fra folkeskolen. Det er noget du lærer at se ved træning. Men hvis du gerne vil gå slavisk igennem det, så kan du jo se i dit tilfælde at de alle sammen er lige tal. De går altså derfor alle sammen op i 2.

Så prøv at forkorte med 2.

12x + 4y + 6z - 24 = 0

du undersøger igen og ser at de alle sammen stadig er lige tal, så du kan forkorte med 2 endnu en gang.

6x + 2y + 3z - 12 = 0

Der er ikke noget heltal der går op i både 2 og 3, så nu kan ligningen ikke forkortes længere. 

At forkorte 2 gange med 2, svarer til at forkorte 1 gang med 4.