Integrale opgave

      substituer
                                u = x³ + 1           (1/3)du = x²dx

     ∫_o ln(x)dx = xln(x) - x

#0

Det sidste: " ∫(ln(x)+1)dx=ln(x)+k  " er ikke korrekt.

Der gælder, at ∫ (ln(x)+1) dx = x·ln(x)+k 

detaljer:
                                ∫ ln(x)dx      x>0
delvis integration
giver

                                ∫_o 1·ln(x)dx = x·ln(x) - ∫_o x·(1/x)dx = x·ln(x) - ∫_o 1dx = x·ln(x) - x

#2

Ja, og hvis du integrerer ledvist, så får du integralet til

∫(ln(x)+1)dx = x*ln(x)-x+x+k = x*ln(x)+k

idet du benytter, at stamfunktionen til ln(x) er givet ved

∫(ln(x))dx = x*ln(x)-x

som angivet i #1

#2 det var en tastefejl, men du har helt ret.

#1 den indre funktion fås til: 

u=x³⁺¹

u'=du/dx=3x²⇔du=3x²dx⇔du/3x²=dx

hvad gøre jeg herfra? 

#3 og #4 kan den ikke laves på en anden måde (uden delvis integration)? for det har jeg nemlig ikke haft om. 

#5

Du bruger ikke partiel integration. Mathon viser bare, hvordan man ved hjælp af partiel integration finder stamfunktionen til ln(x). Jeg har givet dig svaret på den del af opgaven i #4.

#6 jeg forstår det stadig ikke rigtigt. Kan du prøve at forklare det i ord? 

#

u er ikke korrekt skrevet op, omend du regner rigtigt videre.

u = x³+1

Som sagt ændrer det ikke ved dine udregninger.

Der gælder, at

du/dx = 3x² hvoraf

du = 3x²*dx hvoraf

(1/3)du = x²*dx

Vi taller os at regne på differentialerne som var de brøker.

Du kan subtituere u og 1/3du i integralet.

∫x²*e^{x^3+1}dx = ∫e^u*1/3du = 1/3*∫e^udu = 1/3*e^u = 1/3*e^{x^3+1}

#7

Der benyttes integration ved substitution, ikke partiel integration. Mathon angiver en brugbar substitution i #1. Man ser så, at

 ∫ x²·e^{x^3+1}dx  = (1/3)·∫ e^u du .

Fortsæt nu selv. Husk at substituere tilbage igen, og husk den arbitrære integrationskonstant k til sidst.

#9

Jeg har givet hende svaret.

Mathon bruger, ligesom det siges i indlæg #6, partiel integration til at findestamfunktionen til ln(x). Jf. indlæg #3. Men det er blot bonusinfo.

#10

Ja, jeg så også dit svar efter at jeg havde skrevet mit.

Ja, det er korrekt, at den partielle integration drejer sig kun om det andet integral ∫ (ln(x)+1) dx = x·ln(x)+k  , ikke det første integral ∫ x²·e^{x^3+1}dx , hvor der benyttes integration ved substitution.

#8 det jeg er ude efter er om ikke der er en formel for det? 

#12

 Hvad er det, du ønsker en formel for? Man benytter partiel integration til at finde en stamfunktion for ln(x), udtrykt som 1·ln(x) .

#13
Det er stadig første del af opgaven. 

∫x²·e^(x³ + 1) dx

lad u = x³ + 1     så du/dx = 3x²    ⇔      x² = du/3dx

∫x²·e^(x³ + 1) dx   =   ∫(du/3dx)·e^u dx = (1/3) ∫e^u du

og

∫ ln(x) + 1 dx = ∫ ln(x) dx + ∫ 1 dx         (der er tastefejl - sidste linje i #0)

#14

Det er blevet skåret ud i pap flere gange ovenfor, hvorledes integralet løses, se #1, #8, #9. Man benytter substitution som anført.

Tror jeg har den! Tak for hjælpen

Nogen der kan forklar #2 lidt nærmere? Jeg forstår ikke hvorfor man kan sige: 

∫(ln(x)+1)dx = x*ln(x)-x+x+k = x*ln(x)+k

#18

∫ (ln(x)+1) dx = ∫ 1·ln(x) dx + ∫ 1 dx

                       = x·ln(x) - ∫ x·(ln(x))' dx + ∫ 1 dx 

                      = x·ln(x) - ∫ x·(1/x) dx + ∫ 1 dx 

                      = x·ln(x) - ∫ 1 dx  + ∫ 1 dx 

                      = x·ln(x) + k