Sammensat funktion

Hvilken regel tænker du på? er det reglen for differentiation af en sammensat funktion? Den siger

( f(g(x)) )' = f '(g(x)) · g'(x)

Man differentierer den ydre funktion og ganger med den afledede af den indre funktion.

#1

Kan du henlede til et "rigtigt" bevis (evt. opskrive), - jeg har opfattelsen af, at der er mange beviser af dette som ikke er helt korrekte. 

Ja, det er den.

Man differentierer den ydre funktion og sætte den indre funktion udifferentieret på x's plads og ganger med den afledede af den indre funktion ik?

#2

Vi antager, at funktionerne f og g er differentiable og undersøger så den sammensatte funktion f^_og i punktet x. Vi danne differenskvotienten

( f^_og(x+h) - f^_og(x) ) / h = ( f(g(x+h)) - f(g(x) ) / h

                                      = [ (f(g(x+h)) - f(g(x)) / (g(x+h) - g(x)) ] · (g(x+h) - g(x)) / h

                                      = [ (f(u+k) - f(u)) / k ] · (g(x+h) - g(x)) / h

hvor u = g(x) , og u+k = g(x+h) , eller k = g(x+h) - g(x) .

Når h går mod 0 , vil k gå mod 0, og (g(x+h) - g(x)) / h vil gå mod g'(x) . Derfor vil (f(u+k) - f(u)) / k gå mod f '(u) , og vi har derfor, at differenskvotienten

( f^_og(x+h) - f^_og(x) ) / h

vil gå mod f '(u) · g'(x) , når h går mod 0. Det vil sige,

( f^_og(x+h) - f^_og(x) ) / h → f '(u) · g'(x) = f '(g(x)) · g'(x) for h → 0.