matematik

Er Z og I (eller l) konstanter? Hvis det er tilfældet, kan ligningen løses ved hjælp af løsningsformlen for den lineære differentialligning af første orden ("panserformlen").

ja de er konstanter, men så kan man ikke løse ligning med separation af varibaler?

#2

Nej, den kan ikke løses ved separation. For at kunne løses ved separation af de variable skal differentialligningen have formen

      du/dx = f(x) · g(u)

Men den foreliggende ligning kan som nævnt løses ved at benytte den færdige løsningsformel for lineære 1.-ordens differentialligninger.

okay skal min min ligning sættes op på denne måde ud fra panserligningen x'(t)+p(t)x(t)=q(t)

hvor du/dx=x´(t) og p(t)=((l+1)/t-Z/(l+1)) og u=x(t) og q(t)=0?

#4

Benyt samme betegnelser for de variable, ellers ender det i kaos.

Den generelle differentialligning er

u'(x) + p(x)·u(x) = q(x)

og din ligning er

u'(x) + Z/(l+1) · u(x) = -(l+1)/x

hvor så p(x) = Z/(l+1) og q(x) = -(l+1)/x

hov u skal ganges på begge led i paranteset så (l+1)u/x og Zu/(l+1), hvordan sættes det så op?. i øvrigt så troede jeg min spørgsmål blev ældet og glemt, så derfor oprettede jeg en ny.

#6

Ja, det har du ret i. Jeg havde overset parentesen, og det var derfor jeg påstod, at ligningen ikke kan løses ved separation. Det kan den så faktisk godt, med denne læserettelse.

Så er differentialligningen

u'(x) + ( (l+1)/x+Z/(l+1) ) · u(x) = 0 , og dermed

u'(x) / u(x) = - ( (l+1)/x+Z/(l+1) )

dvs

ln(u(x)) = - ∫ ( (l+1)/x+Z/(l+1) ) dx

Trådene bliver ældre, ja, men hvis du skriver et nyt indlæg i en eksisterende tråd, "bumpes" tråden til toppen af de aktive tråde og bliver derfor synlig igen.

hmmm okay, nu har du separeret varibalerne på hver side af ligheds tegnet, men ved ikke helt hvordan du kommer frem til ln(u(x)) = - ∫ ( (l+1)/x+Z/(l+1) ) dx?

#8

Man har jo, at u'(x) / u(x) = [ln(u(x))]' . Derfor er ln(u(x)) en stamfunktion til venstresiden, og derfor står der så en stamfunktion til højresiden på højre side.

Sagt på en anden måde:

∫ u'(x)/u(x) dx = ∫ (du/dx) · (1/u(x)) dx = ∫ (1/u) du = ln(u)

så ved at jeg tager exp(ln(u(x))) har løsning til diff. lingingen?

er det også noget med at der kommer en ekstra konstant på diff. ligning løsningen?

#11

Ja, der kommer en integrationskonstant på højre side:

ln(u(x)) = -(l+1)·ln(x) + (Z/(l+1))·x + k ,

u(x) = c·e^(Z/(l+1))·x / x^l+1

men burde det ikke være u(x) = e(c)+e(Z/(l+1))·x / xl+1. når vi tage e på højre side af de tre led?

hov det skal være u(x) = c·e^(Z/(l+1))·x / x^l+1

arh fejl igen u(x) = e(c)+e^(Z/(l+1))·x / x^l+1

#15

I #12 har jeg kaldt e^k for c , og c skal ganges som faktor på resten af udtrykket e^(Z/(l+1))·x / x^l+1

hvis e^k=c hvor pluses det ikke på, istedet for at gange?

#17

Fordi man benytter en regneregel for eksponentialfunktioner:

e^a+b+k = e^a ·e^b ·e^k

Vær opmærksom på, at "at pluse" er babysprog for "at addere" eller "lægge sammen".

mange tak for hjælpen :)