Opdel rektangel med parabel

Lad os betragte et rektangel med sidelængder A og B, og lad os indlægge det i et koordinatsystem, således at rektanglets hjørner falder i punkterne P(-A/2;0) , Q(A/2;0) , R(A/2;B) og S(-A/2;B) . Vi vil nu bestemme en parabel med toppunkt på y-aksen, der går gennem punkterne R og S, således at parabelen deler rektanglet i to dele, der har samme areal. Parabelens forskrift vil da have formen

f(x) = ax² + c ,

hvor c er toppunktets y-koordinat. Parabelen er symmetrisk omkring y-aksen, og da den skal gå gennem punktet R, skal der gælde

a·(A/2)² + c = B .

Endvidere ønsker vi, at arealet mellem x-aksen og parabelen mellem -A/2 ≤ x ≤ A/2 skal være lig med det halve af rektanglets areal, så vi må have

_-A/2∫^A/2 (ax² + c) dx = 2 · ₀∫^A/2 (ax² + c) dx = 2 · [ ax³/3 + cx ]^A/2₀

                              = 2·(a/3)·(A/2)³ + 2·c·(A/2) = (1/2)·A·B .

Vi har altså de to ligninger til bestemmelse af a og c, nemlig

a·A²/4 + c = B , og

a·A²/12 + c = (1/2)·B , hvoraf

a·A²·(1/4 - 1/12) = (1/2)·B , eller

a = 3·B/A² og c = B - a·A²/4 = B - (3/4)B = (1/4)·B

Parabelen skal altså have toppunkt i (0 ; B/4) og gå gennem rektanglets to øvre punkter (-A/2 ; B) og
(A/2 ; B) , og den har forskriften

f(x) = (3B/A²)·x² + B/4

Tusind tak for dit svar! Jeg har kigget længe på det. Nu er det bare sådan, at i min opgave skal nederste venstre hjørne af rektanglet ligge i nulpunktet. Så kan man ikke gøre det på den måde, vel?

Min opgave ser sådan ud:

En matematiklærer deler sin køkkenhave op i 2 lige store stykker ved hjælp af en parabel. Haven er rektangulær med bredden 3m og længden 4m.

Han lægger et koordinatsystem med nulpunktet i havens nederste venstre hjørne, således at parablens toppunkt ligger i nulpunktet, og havens bredde ligger ud af x-aksen.

Beregn funktionsudtrykket for hans parabel og tegn haven i fugleperspektiv.