Matematik

Find stamfunktioner til funktion

27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej! Jeg har problemer med denne opgave:

Angiv samtlig stamfunktioner til funktionen: f(x)=2e^x-e^(2x)
Angiv tilige forskriften for netop den stamfunktion F til f, hvis graf går gennem P(ln2,f(ln2)).

Det ville være super lækkert, hvis der kunne blive forklaret trin-for-trin hvad man gør, så jeg evt. kan forstå det og prøve igen med en anden opgave senere :-)

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Benyt, at ∫ e^ax dx = (1/a)·e^ax + k , a ≠ 0 . Bestem konstanten k i stamfunktionen, så at F(ln(2)) = f(ln(2)) .

Svar #2
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#1 Hvordan bestemmer jeg konstanten k?

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Ved at finde den værdi for k, for hvilken betingelsen F(ln(2)) = f(ln(2)) er opfyldt.

Svar #4
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#3 Hmmm... Jeg forstår ikke rigtig hvad det er jeg skal gøre.

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Først skal man bestemme alle stamfunktioner

F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (2e^x - e^2x) dx .

I stamfunktionerne indgår en konstant k, som man bestemmer ved at betingelsen F(ln(2)) = f(ln(2)) skal være opfyldt.

Svar #6
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#5 Ja, men hvordan finder jeg stamfunktionerne?

Brugbart svar (0)

Svar #7
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Ved at benytte en formel, jeg gav i #1. Benytter man den får man

∫ e^x dx = e^x+ k og ∫ e^2x dx = (1/2)·e^2x + k .

Svar #8
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#7 Nåh ja, mange tak. Herefter siger du, at jeg bestemmer k hvor at betingelsen F(ln(2) = f(ln(2)) skal være opfyldt. Hvordan? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

Ved at løse ligningen F(ln(2)) = f(ln(2)) som en ligning i k.

Svar #10
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#9 altså sætter jeg ln(2) ind på x's plads?

Brugbart svar (0)

Svar #11
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, man beregner F(ln(2)) og f(ln(2)) ved at sætte x = ln(2) i forskrifterne for F(x) og f(x) .

Svar #12
27. august 2012 af ToodleDoo (Slettet)

#11 Altså: f(ln(2))=2e^ln(2)-e^(2*ln(2)), ∫ ex dx = e*ln(2) + k og ∫ e2x dx = (1/2)·e2*ln(2) + k ???

Brugbart svar (0)

Svar #13
27. august 2012 af Andersen11 (Slettet)

#12

Du skal jo reducere lidt videre på det ved at benytte at e^x og ln(x) er hinandens omvendte funktioner:

f(ln(2)) = 2·e^ln(2) - e^2·ln(2) = 2·2 - 2² = 4 - 4 = 0

Opskriv først forskriften for den generelle stamfunktion F(x) og afpas så konstanten k for den bestemte løsning.

Skriv et svar til: Find stamfunktioner til funktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.